YOI 809：「必ず一つある」の先は、探索ではなく次数の分配が決めている

論文809 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/809 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.23015461）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi809,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Beyond “There Must Be One,” It Is Not Search but the Distribution of Degrees That Decides},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/809},
  doi = {10.5281/zenodo.23015461},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969440・969456・969461 に記録されました（2026年10月01日 19:28（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

ラムゼーの定理は「$6$ 人いれば、互いに知り合いの三人組か、互いに初対面の三人組が必ずある」と言う。本稿は、その「必ずある」を「少なくとも何組あるか」に強めたときに、その個数が何で決まるかを数える。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、$5$ 点では $0$ 個にできる。$1024$ 通りの塗り分けのうち $12$ 通り（$\mathbf{0.011719}$）で単色の三角形が一つも無く、これが $R(3,3)>5$ の中身である（第2節）。

第二に、$6$ 点では最小が $2$ 個で、$1$ 個の塗り分けは存在しない。$32768$ 通りを全部作ると最小は $2$ 個、それを達成するのは $1760$ 通り（$\mathbf{0.053711}$）、平均は $\mathbf{5.000000}$ 個である（第2節）。

第三に、これが本稿の芯である。個数は赤の次数の分配だけで決まる。グッドマンの恒等式が $5$ 点と $6$ 点の $33792$ 通りすべてで一致した（第3節）。

第四に、だから下限は、塗り分けを一度も見ずに出る。次数の分配と握手の条件（次数の和が偶数）だけを使うと、$6$ 点で $2$ 個、$7$ 点で $4$ 個、$12$ 点で $40$ 個（$6$ 点の $\mathbf{20.000000}$ 倍）である（第3節）。

第五に、探索の側は同じ範囲で爆発している。塗り分けの数は $6$ 点の $32768$ 通りから $12$ 点の $\mathbf{7.378698}\times10^{19}$ 通りへ増える（第4節）。

第六に、分離子は、塗り分けを探すか、次数の分配だけで決まるかである。「何個あるか」は探索の問いに見えて、下限の側は探索を要しない（第4節）。

キーワード：ラムゼーの定理、単色三角形、グッドマンの恒等式、次数の分配、全数え上げ、下限

Abstract

Ramsey’s theorem says that among $6$ people there must be three who all know one another or three who are all strangers.This paper strengthens “there must be one” to “there must be at least how many” and counts what fixes that number.No new theorem or law is claimed.

First, on $5$ points the count can be $0$、$12$ of the $1024$ colourings ($\mathbf{0.011719}$) have no monochromatic triangle at all, which is the content of $R(3,3)>5$ (Section 2).

Second, on $6$ points the minimum is $2$, and no colouring gives $1$、over all $32768$ colourings the minimum is $2$, reached by $1760$ of them ($\mathbf{0.053711}$), with mean $\mathbf{5.000000}$ (Section 2).

Third, and this is the core. The count is fixed by the distribution of red degrees alone、Goodman’s identity matched in all $33792$ colourings on $5$ and $6$ points (Section 3).

Fourth, so the lower bound comes out without looking at a single colouring、using only the degree distribution and the handshake condition (the degrees sum to an even number), it is $2$ for $6$ points, $4$ for $7$, and $40$ for $12$ ($\mathbf{20.000000}$ times the value at $6$) (Section 3).

Fifth, the search side explodes over the same range、the number of colourings grows from $32768$ at $6$ points to $\mathbf{7.378698}\times10^{19}$ at $12$ (Section 4).

Sixth, the separator is whether one searches the colourings or the degree distribution decides、“how many are there” looks like a question for search, yet the lower-bound side needs none (Section 4).

Keywords: Ramsey's theorem, monochromatic triangle, Goodman's identity, degree distribution, exhaustive enumeration, lower bound

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/809/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/809 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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