YOI 811：連分数の周期は、近似のしやすさではなく、二次方程式の根であることの印である

論文811 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/811 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.23015470）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi811,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The Period of a Continued Fraction Marks Being a Root of a Quadratic, Not Being Easy to Approximate},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/811},
  doi = {10.5281/zenodo.23015470},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969440・969456・969461 に記録されました（2026年10月01日 19:28（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

連分数には「周期を持つもの」と「持たないもの」があり、$\pi$ の $355/113$ のようによく当たる近似も連分数から出る。本稿は、周期が何の印であり、よく当たる近似が何から来るのかを、実際に展開して数える。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、平方根は例外なく周期を持つ、$2$ から $50$ までの平方数でない $43$ 個の $\sqrt n$ はすべて周期を持ち、長さは最小 $1$・最大 $12$・平均 $\mathbf{3.441860}$ である（第2節）。

第二に、これが本稿の芯である。周期は二次方程式の根であることの印である。周期 $[2]$・$[1,2]$・$[1,1,1,4]$ から数を作り直すと $\sqrt2$・$\sqrt3$・$\sqrt7$ に戻り、$x^{2}-n$ の残差は $10^{-16}$ の桁に収まる（第3節）。

第三に、周期を持たない数もある。$e$ の連分数は $100$ 項まで見ても長さ $1$ から $30$ のどの周期も破れ、部分商の最大は $66$ になる（第4節）。

第四に、よく当たる近似は、周期ではなく一度きりの跳ねから来る。$\pi$ の $355/113$ の差 $\mathbf{2.667642}\times10^{-7}$ は $22/7$ の差 $\mathbf{1.264489}\times10^{-3}$ の $\mathbf{2.109660}\times10^{-4}$ 倍で、直前の部分商が $292$ だからである（第4節）。

第五に、黄金比は反対の端にいる。連分数が $100$ 項まで全部 $1$ で、跳ねが一度も来ない（第2節）。

第六に、分離子は、周期があるか、一度きりの大きい部分商かである。「連分数がきれいだ」という言い方は、どちらを指しているかで意味が変わる（第5節）。

キーワード：連分数、周期、二次無理数、部分商、近似分数、ラグランジュの定理

Abstract

Some continued fractions have a period and some do not, and sharp approximations such as $355/113$ for $\pi$ also come out of a continued fraction.This paper expands them and counts what a period marks and where a sharp approximation comes from.No new theorem or law is claimed.

First, square roots have a period without exception、all $43$ non-square $\sqrt n$ for $n$ from $2$ to $50$ have one, of length $1$ to $12$ with mean $\mathbf{3.441860}$ (Section 2).

Second, and this is the core. A period marks being a root of a quadratic、rebuilding from the periods $[2]$, $[1,2]$, $[1,1,1,4]$ returns $\sqrt2$, $\sqrt3$, $\sqrt7$, with residuals in $x^{2}-n$ at the $10^{-16}$ level (Section 3).

Third, some numbers have no period、the continued fraction of $e$ breaks every period of length $1$ to $30$ within $100$ terms, and its largest partial quotient there is $66$ (Section 4).

Fourth, a sharp approximation comes from a one-off jump, not from a period、the error of $355/113$, $\mathbf{2.667642}\times10^{-7}$, is $\mathbf{2.109660}\times10^{-4}$ times that of $22/7$, $\mathbf{1.264489}\times10^{-3}$, because the partial quotient just before it is $292$ (Section 4).

Fifth, the golden ratio sits at the opposite end、its continued fraction is $1$ for all $100$ terms, so no jump ever comes (Section 2).

Sixth, the separator is whether there is a period or a one-off large partial quotient、“this continued fraction is beautiful” means different things under the two (Section 5).

Keywords: continued fraction, period, quadratic irrational, partial quotient, convergent, Lagrange's theorem

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/811/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/811 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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