YOI 812：近似のしやすさを決めているのは、部分商が有界か非有界かである

論文812 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/812 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.23015472）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi812,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {What Decides How Easily a Number Is Approximated Is Whether Its Partial Quotients Are Bounded},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/812},
  doi = {10.5281/zenodo.23015472},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969440・969456・969461 に記録されました（2026年10月01日 19:28（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

「この数は近似しやすい」と言うとき、実際に効いているのは何かを数える。近似分数 $p/q$ ごとに $q|q\alpha-p|$ を計算し、どこで止まるかを六つの数で比べた。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、部分商が有界な数では、正の値に止まる。黄金比で $\mathbf{0.447214}$、$\sqrt2$ で $\mathbf{0.353553}$、$\sqrt3$ で $\mathbf{0.288675}$、$\sqrt5$ で $\mathbf{0.223607}$ である（第2節）。

第二に、その値は閉じた式と一致する。$1/\sqrt5=\mathbf{0.447214}$、$1/(2\sqrt2)=\mathbf{0.353553}$、$1/\sqrt{12}=\mathbf{0.288675}$ との差はいずれも $10^{-16}$ の桁である（第2節）。

第三に、これが本稿の芯である。部分商が非有界な数では、下へ落ち続ける。$\pi$ は $\mathbf{0.003406}$ まで、$e$ は項を $40$ から $60$ へ伸ばすと $0.037012$ から $\mathbf{0.024383}$ へ下がる（第3節）。

第四に、分かれ目は数の正体ではなく、部分商の大きさである。部分商の最大は黄金比 $1$・$\sqrt2$ $2$・$\sqrt3$ $2$・$\sqrt5$ $4$ に対し、$\pi$ は $292$、$e$ は $40$ まで伸びる（第3節）。

第五に、黄金比が端にいる。その値 $\mathbf{0.447214}$ はフルヴィッツの限界 $1/\sqrt5$ と一致し、$e$ の $0.024383$ の $\mathbf{18.341223}$ 倍である（第4節）。

第六に、分離子は、部分商が有界か非有界かである。「無理数はどれも同じくらい近似しにくい」は成り立たず、分けるのは数の名前ではなく展開の形である（第4節）。

キーワード：ディオファントス近似、連分数、部分商、フルヴィッツの定理、黄金比、近似分数

Abstract

When one says “this number is easy to approximate”, what is actually doing the work is counted here.For each convergent $p/q$ the quantity $q|q\alpha-p|$ was computed, and where it settles was compared across six numbers.No new theorem or law is claimed.

First, for numbers with bounded partial quotients it settles at a positive value、$\mathbf{0.447214}$ for the golden ratio, $\mathbf{0.353553}$ for $\sqrt2$, $\mathbf{0.288675}$ for $\sqrt3$ and $\mathbf{0.223607}$ for $\sqrt5$ (Section 2).

Second, those values match closed forms、the differences against $1/\sqrt5=\mathbf{0.447214}$, $1/(2\sqrt2)=\mathbf{0.353553}$ and $1/\sqrt{12}=\mathbf{0.288675}$ are all at the $10^{-16}$ level (Section 2).

Third, and this is the core. For numbers with unbounded partial quotients it keeps falling、$\pi$ reaches $\mathbf{0.003406}$, and $e$ falls from $0.037012$ to $\mathbf{0.024383}$ merely on extending from $40$ to $60$ terms (Section 3).

Fourth, the divide is not what the numbers are but how large the partial quotients grow、the largest is $1$ for the golden ratio, $2$ for $\sqrt2$, $2$ for $\sqrt3$ and $4$ for $\sqrt5$, against $292$ for $\pi$ and $40$ for $e$ (Section 3).

Fifth, the golden ratio sits at the end、its value $\mathbf{0.447214}$ coincides with Hurwitz’s constant $1/\sqrt5$ and is $\mathbf{18.341223}$ times the $0.024383$ of $e$ (Section 4).

Sixth, the separator is whether the partial quotients are bounded、“all irrationals are about equally hard to approximate” does not hold, and what divides them is the shape of the expansion, not the name of the number (Section 4).

Keywords: Diophantine approximation, continued fraction, partial quotient, Hurwitz's theorem, golden ratio, convergent

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/812/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/812 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

YOI の一覧へ