YOI 840：木の「真ん中」は一つではない。半分以上の木で、中心と重心は別の点になる

論文840 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/840 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.23015628）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi840,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {A Tree Has More Than One “Middle”: In Over Half of All Trees the Centre and the Centroid Are Different Points},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/840},
  doi = {10.5281/zenodo.23015628},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969440・969456・969461 に記録されました（2026年10月01日 19:28（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

木の「真ん中」と言えば一つのものを指していそうである。本稿は、それが二つあって半分以上の木で離れることを数える。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、木では二回歩けばいちばん遠い二点が見つかる。点 $7$ 個の木 $16807$ 本と点 $8$ 個の木 $262144$ 本のすべてで、どの出発点からでも外れなかった（第2節）。

第二に、これは木だから成り立つ、点 $6$ 個の連結グラフ $26704$ 個では $4897$ 個（$\mathbf{0.183381}$）で外れる（第2節）。

第三に、外れた図に木は一つも無い。$4897$ 個のうち木だったものは $0$ 個である（第2節）。

第四に、これが本稿の芯である。「真ん中」は二つある。中心と重心は、点 $7$ 個で $9030$ 本（$\mathbf{0.537276}$）、点 $8$ 個で $140616$ 本（$\mathbf{0.536407}$）で別の点になる（第3節）。

第五に、それでも遠くは離れない。点 $7$ 個では距離 $1$ まで、点 $8$ 個でも距離 $2$ までしか離れない（第3節）。

第六に、分離子は、いちばん遠いところを短くしたいのか、大きいかたまりを小さくしたいのかである。同じ「真ん中」という語が、二つの別の問いに答えている（第4節）。

キーワード：木の直径、偏心、中心と重心、幅優先探索、全数え上げ、模型

Abstract

The “middle” of a tree sounds like one thing.This paper counts that it is two, and that they part in over half of all trees.No new theorem or law is claimed.

First, in a tree, walking twice finds the two farthest vertices、across all $16807$ trees on $7$ vertices and all $262144$ on $8$, no starting point ever failed (Section 2).

Second, this holds because they are trees、among the $26704$ connected graphs on $6$ vertices, $4897$ ($\mathbf{0.183381}$) break it (Section 2).

Third, not one of the failures is a tree、of those $4897$, exactly $0$ are trees (Section 2).

Fourth, and this is the core. There are two “middles”、centre and centroid differ in $9030$ trees on $7$ vertices ($\mathbf{0.537276}$) and $140616$ on $8$ ($\mathbf{0.536407}$) (Section 3).

Fifth, and yet they never stand far apart、at most a distance of $1$ on $7$ vertices and $2$ on $8$ (Section 3).

Sixth, the separator is whether one wants to shorten the farthest reach or to shrink the largest piece、one word “middle” answers two different questions (Section 4).

Keywords: tree diameter, eccentricity, centre and centroid, breadth-first search, exhaustive enumeration, model

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/840/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/840 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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