Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文898 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/898 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。

本文はサイトの記事でも読めます（2026年10月9日 21:20 に公開します）。

@misc{yamagishi2026yoi898,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Triples Covering Every Pair Exactly Once Exist, up to Fifteen Points, Only When the Count Leaves Remainder One or Three Mod Six},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/898},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969440・969456・969461 に記録されました（2026年10月01日 19:28（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

点をいくつか並べて、どの二点もちょうど一度ずつ同じ三つ組に入るように組を作る問いは、点の数ごとに一つずつ試すしかない、と思いやすい。本稿は、点 $3$ から $15$ まで三つ組の集まりを探し、在るか無いかが何で決まるかを数える。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、見つかるのは五つの点の数だけである。点 $3$ から $15$ のうち、三つ組の集まりが見つかったのは $3$・$7$・$9$・$13$・$15$ だけだった（第2節）。

第二に、これが本稿の芯である。在るか無いかは、点の数を $6$ で割った余りで決まる。見つかった五つはどれも余りが $1$ か $3$ で、見つからなかった八つはどれも余りが $0$・$2$・$4$・$5$ だった（第2節）。

第三に、無いのは、どれも割り算で説明がつく。点 $5$・$8$・$11$・$14$ は三つ組の数が $\mathbf{3.333333}$・$\mathbf{9.333333}$・$\mathbf{18.333333}$・$\mathbf{30.333333}$ と整数にならず、点 $4$・$6$・$8$・$10$・$12$・$14$ は一つの点の相手の数が奇数である（第2節）。

第四に、在るときの数は少なくない。番号付きで数えると、点 $7$ で $30$ 通り、点 $9$ で $840$ 通りである（第3節）。

第五に、同型を除けば、どちらも一通りである。見つけた一つに番号の付け替えを全部当てると、違う集まりはちょうど $30$ と $840$ 出て、付け替えても変わらない付け替えは $168$ 個と $432$ 個だった（第3節）。

第六に、分離子は、割り算の条件で無いのか、条件を満たしても無いのかである。$15$ までは、無いものはすべて割り算の条件で無く、条件を満たして無いものは一つも無かった（第4節）。

キーワード：シュタイナーの三つ組系、組合せ設計、二点の組、6 で割った余り、同型、カークマン

Abstract

It is easy to assume that whether points can be grouped into triples so that every pair shares exactly one triple can only be settled by trying each number of points in turn.This paper searches for such triple systems from $3$ to $15$ points and counts what decides whether they exist.No new theorem or law is claimed.

First, only five point counts are found: of $3$ to $15$ points, triple systems were found only for $3$, $7$, $9$, $13$ and $15$ (Section 2).

Second, and this is the core. Existence is decided by the number of points modulo six: the five found all have remainder $1$ or $3$, and the eight not found all have remainder $0$, $2$, $4$ or $5$ (Section 2).

Third, every absence is explained by divisibility: for $5$, $8$, $11$ and $14$ points the number of triples is $\mathbf{3.333333}$, $\mathbf{9.333333}$, $\mathbf{18.333333}$ and $\mathbf{30.333333}$, not an integer, and for $4$, $6$, $8$, $10$, $12$ and $14$ points the number of partners of a point is odd (Section 2).

Fourth, when they exist, there are not few: counted with labels, there are $30$ systems for $7$ points and $840$ for $9$ (Section 3).

Fifth, up to isomorphism each is unique: applying every relabelling to one system found gives exactly $30$ and $840$ distinct systems, and the relabellings leaving it unchanged number $168$ and $432$ (Section 3).

Sixth, the separator is whether a system is absent by the divisibility conditions or absent even though they hold: up to $15$, every absence was by the divisibility conditions, and none was absent with the conditions holding (Section 4).

Keywords: Steiner triple system, combinatorial design, pairs of points, remainder modulo six, isomorphism, Kirkman

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/898/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/898 はいつも最新の版を指します）。

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