YOI 907：宇宙の膨張の式は塵ならニュートンの殻で厳密に出て、光なら減速が二倍外れる

論文907 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/907 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22804787）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi907,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Cosmic Expansion Follows Exactly from a Newtonian Shell for Dust, but for Light the Deceleration Is Twice the Shell's},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/907},
  doi = {10.5281/zenodo.22804787},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969451・969456・969461・969490 に記録されました（2026年10月01日 23:00（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

宇宙の膨張を決めるフリードマン方程式は、一般相対論の式だと思われている。本稿は、一様な物質の球の縁にある殻をニュートンの重力だけで動かし、その運動がフリードマン方程式とどこまで一致し、どこで外れるかを数える。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、塵なら、殻の運動はフリードマンの解そのものである。殻のエネルギーが $0$ のとき、殻の半径は $t=1$・$10$・$100$ で $1.842016$・$6.349604$・$\mathbf{28.356413}$ となり、塵の解 $(1+3H_0t/2)^{2/3}$ と相対 $10^{-14}$ の桁で一致した（第2節）。

第二に、臨界密度は、殻のエネルギーが $0$ になる密度である。エネルギーが $0$ なら $\Omega$ はいつも $1.000000000$ で、$0$ でなければ $\Omega-1=-2E/\dot r^2$ が $10^{-9}$ 以内で成り立つ（閉じる殻の $t=2$ で $\Omega=\mathbf{1.769581}$）。曲率の項は、殻のエネルギーとして読める（第3節）。

第三に、$8\pi/3$ は、運動エネルギーの $1/2$ と球の体積の $4\pi/3$ である。同じ $8\pi/3=8.377580$ は論文905 の $\int\sin^2\theta d\Omega$ にも出るが、$d=4$ では $9.869604$ と $14.804407$ に分かれ、別の数である（第3節）。

第四に、これが本稿の芯である。光で満ちた宇宙では、減速が二倍外れる。圧力 $p=\rho c^2/3$ を持つ中身では、相対論の減速 $-(4\pi G/3)(\rho+3p/c^2)$ は殻の減速 $-(4\pi G/3)\rho$ の $\mathbf{2.000000}$ 倍で、$t=10$ で殻の宇宙は相対論の宇宙の $\mathbf{1.838737}$ 倍に膨らむ（第4節）。

第五に、外れの係数は $1+3w$ である。圧力と密度の比 $w$ で、塵は $1$、光は $2$、$w=-1/3$ で $0$、$w=-1$ で $-2$ になり、殻の $1$ に一致するのは圧力の無い塵だけである（第4節）。

第六に、分離子は、中身に圧力があるかである。圧力が無ければ重さは質量だけで、ニュートンの殻で足りる。圧力があれば圧力も重さに入り、殻では足りない（第5節）。

キーワード：フリードマン方程式、ニュートンの殻、臨界密度、圧力、宇宙の膨張、状態方程式

Abstract

Friedmann’s equation for cosmic expansion is usually taken to be an equation of general relativity.This paper moves the edge shell of a uniform ball of matter by Newtonian gravity alone and counts how far that motion agrees with Friedmann’s equation and where it departs.No new theorem or law is claimed.

First, for dust, the shell’s motion is Friedmann’s solution itself、with the shell’s energy $0$, its radius at $t=1$, $10$ and $100$ is $1.842016$, $6.349604$ and $\mathbf{28.356413}$, agreeing with the dust solution $(1+3H_0t/2)^{2/3}$ to the order of $10^{-14}$ (Section 2).

Second, the critical density is the density at which the shell’s energy is $0$、with energy $0$, $\Omega$ is always $1.000000000$; otherwise $\Omega-1=-2E/\dot r^2$ holds within $10^{-9}$ ($\Omega=\mathbf{1.769581}$ at $t=2$ for a closing shell). The curvature term reads as the shell’s energy (Section 3).

Third, $8\pi/3$ is the $1/2$ of kinetic energy and the $4\pi/3$ of the volume of a ball、the same $8\pi/3=8.377580$ appears as $\int\sin^2\theta d\Omega$ in Paper 905, but at $d=4$ the two split into $9.869604$ and $14.804407$: they are different numbers (Section 3).

Fourth, and this is the core. In a universe full of light, the deceleration is off by a factor of two、for contents with pressure $p=\rho c^2/3$, the relativistic deceleration $-(4\pi G/3)(\rho+3p/c^2)$ is $\mathbf{2.000000}$ times the shell’s $-(4\pi G/3)\rho$, and at $t=10$ the shell universe has expanded $\mathbf{1.838737}$ times as far as the relativistic one (Section 4).

Fifth, the factor of departure is $1+3w$、with $w$ the ratio of pressure to density, it is $1$ for dust, $2$ for light, $0$ at $w=-1/3$ and $-2$ at $w=-1$; only pressureless dust matches the shell’s $1$ (Section 4).

Sixth, the separator is whether the contents have pressure、without pressure, weight is mass alone and the Newtonian shell suffices. With pressure, pressure too has weight, and the shell does not suffice (Section 5).

Keywords: Friedmann equation, Newtonian shell, critical density, pressure, cosmic expansion, equation of state

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/907/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/907 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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