YOI 910：回転曲線が平らな区間は、そこの密度を決め、内側には囲む質量だけを課す

論文910 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/910 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22804897）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi910,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {A Flat Rotation Curve Fixes the Density There and Imposes Only the Enclosed Mass on the Inside},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/910},
  doi = {10.5281/zenodo.22804897},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969451・969456・969461・969490 に記録されました（2026年10月01日 23:00（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

銀河の回転の速さが遠くまで平らだと聞くと、その平らさは中心から外までの質量の並び方の全体を決めている、と思いやすい。本稿は球対称の質量分布について、平らな区間がその区間の密度と内側に何を課し、何を課さないかを数値で数える。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、冪の密度で平らになるのは $n=2$ だけである。$\rho=r^{-n}$ を対数の格子で積むと、回転の速さの傾きは五つの $n$ で $(2-n)/2$ に合い、半径 $1$ から $16$ で速さが変わらず殻ごとの質量の比が $1.000000$ になるのは $n=2$ だけだった。半径 $1$ の囲む質量は $4\pi/(3-n)$ の階段 $4.188790$・$6.283185$・$8.377580$・$12.566371$・$25.132741$ に乗った（第2節）。

第二に、速さの傾きが、その場所の密度を決める。$4\pi G r^2\rho=v^2(1+2s)$（$s$ は速さの対数の傾き）で、芯のある密度 $1/(1+r^2)$ の数値の回転曲線から密度を戻すと、七つの半径で相対差は最大 $3.37\times10^{-9}$ だった。係数 $1+2s$ は中心の近くで $2.999880$、$r=1000$ で $1.001571$、質量が有限な $e^{-r}$ では $r=20$ で $8.246576\times10^{-6}$ まで落ちた（第3節）。

第三に、これが本稿の芯である。平らな区間が内側に課すのは、囲む質量だけである。半径 $1$ から外を $1/(4\pi r^2)$ にして、内側を $r^{-m}$（$m=0$・$1$・$1.5$・$2$）で囲む質量が合うように埋めると、外の速さはどれも $1.000000$ のままで、つなぎ目の密度が $3-m$ 倍に跳ぶだけだった。内側の質量を $1$ 割増やすと、半径 $1.5$ の速さは $\mathbf{1.032796}$ に上がり、$\sqrt{1+0.1/r}$ で下がり続けた（第4節）。

第四に、等温の球は、芯から出ても $r^{-2}$ に寄っていく。等温の球の式を $\ln\xi$ で積むと、$v^2/\sigma^2$ は $\xi=10^{6}$ で $1.998748$ になった。最初の極大は $\xi=8.9931$ で $2.517551$、速さにして遠くの $\mathbf{1.121952}$ 倍で、極大どうしの $\ln\xi$ の間隔は $\mathbf{4.749797}$（線形化の $4\pi/\sqrt7=4.749642$）だった（第5節）。

第五に、丸めた模型の値では、平らな $200$ km/s は半径 $10$ kpc の内側に $9.300341\times10^{10}$ 太陽質量を課す。その半径の密度は $7.400976\times10^{-3}$ 太陽質量/pc$^3$（水素原子にして $1$ cm$^3$ に $0.299297$ 個）、殻ごとの質量は $9.300341\times10^{9}$ 太陽質量/kpc である（第6節）。

第六に、分離子は、囲む質量の総量を問うか、殻ごとの増え方を問うかである。ケプラーの落ち方は総量しか問わず、平らな区間は殻ごとの増え方を $v^2/G$ に決める。内側には総量だけが残り、並び方は問われない（第7節）。

キーワード：回転曲線、特異等温球、囲む質量、等温の球、密度分布、球対称

Abstract

Hearing that a galaxy’s rotation speed stays flat far out, it is easy to assume that the flatness fixes the whole arrangement of mass from the centre outward.For spherically symmetric mass distributions, this paper counts numerically what a flat stretch imposes on the density there and on the inside, and what it does not.No new theorem or law is claimed.

First, among power-law densities only $n=2$ is flat、integrating $\rho=r^{-n}$ on a logarithmic grid, the slope of the rotation speed matched $(2-n)/2$ for five values of $n$, and only for $n=2$ did the speed stay the same from radius $1$ to $16$ with a ratio of mass per shell of $1.000000$. The mass enclosed within radius $1$ followed the staircase $4\pi/(3-n)$: $4.188790$, $6.283185$, $8.377580$, $12.566371$, $25.132741$ (Section 2).

Second, the slope of the speed fixes the density at that place、with $4\pi G r^2\rho=v^2(1+2s)$ ($s$ the logarithmic slope of the speed), the density recovered from the numerical rotation curve of the cored density $1/(1+r^2)$ differed by at most $3.37\times10^{-9}$ at seven radii. The factor $1+2s$ was $2.999880$ near the centre and $1.001571$ at $r=1000$, and for the finite-mass $e^{-r}$ it fell to $8.246576\times10^{-6}$ at $r=20$ (Section 3).

Third, and this is the core. All that a flat stretch imposes on the inside is the enclosed mass、setting the density to $1/(4\pi r^2)$ outside radius $1$ and filling the inside with $r^{-m}$ ($m=0$, $1$, $1.5$, $2$) so that the enclosed mass matches, the outside speed stayed $1.000000$ in every case and the density merely jumped by a factor $3-m$ at the join. Increasing the inner mass by $10$ per cent raised the speed at radius $1.5$ to $\mathbf{1.032796}$, and it kept falling as $\sqrt{1+0.1/r}$ (Section 4).

Fourth, an isothermal sphere, starting from a core, still moves toward $r^{-2}$、integrating the isothermal sphere equation in $\ln\xi$, $v^2/\sigma^2$ reached $1.998748$ at $\xi=10^{6}$. The first maximum was $2.517551$ at $\xi=8.9931$, a speed $\mathbf{1.121952}$ times the distant one, and the spacing of maxima in $\ln\xi$ was $\mathbf{4.749797}$ (linearisation: $4\pi/\sqrt7=4.749642$) (Section 5).

Fifth, with rounded model values, a flat $200$ km/s imposes $9.300341\times10^{10}$ solar masses inside a radius of $10$ kpc、the density at that radius is $7.400976\times10^{-3}$ solar masses per pc$^3$ ($0.299297$ hydrogen atoms per cm$^3$), and the mass per shell is $9.300341\times10^{9}$ solar masses per kpc (Section 6).

Sixth, the separator is whether one asks for the total enclosed mass or for how it grows shell by shell、Keplerian fall-off asks only for the total, whereas a flat stretch fixes the growth per shell at $v^2/G$. Only the total is left for the inside, and its arrangement is not asked for (Section 7).

Keywords: rotation curve, singular isothermal sphere, enclosed mass, isothermal sphere, density profile, spherical symmetry

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/910/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/910 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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