YOI 913：運動エネルギーの 1/2 は冪 2 の逆数で、光の 1 と転がる輪の 1 は別の根から来る

論文913 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/913 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22805027）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi913,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The 1/2 of Kinetic Energy Is One Over the Power 2, and the 1 of Light and the 1 of a Rolling Hoop Have Different Roots},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/913},
  doi = {10.5281/zenodo.22805027},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969451・969456・969461・969490 に記録されました（2026年10月01日 23:00（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

論文18 は $m=4\pi$ で運動エネルギーを $2\pi v^2$ と書いた。このとき運動量と速さの積は $4\pi v^2$ で、運動エネルギーはそのちょうど半分である。本稿は、運動エネルギーを運動量と速さの積で割った比が何を数えているかを、冪の分散・三つの波・相対論の粒子・転がる物で数え、比が $1$ になる二つの場合の出どころを分ける。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、比は位相速度を群速度で割った比で、エネルギーが運動量の何乗かの逆数である。エネルギーを運動量の $n$ 乗に取ると、$n=0.5$・$1$・$1.5$・$2$・$3$ で比は $2$・$1$・$0.666666667$・$0.5$・$0.333333333$ で、逆数と位相速度÷群速度に差 $6.9\times10^{-11}$ 以内で合った（第2節）。

第二に、遅い物質波は $1/2$、光は $1$、深い水の波は $2$ である。三つの波数で差 $1.7\times10^{-10}$ 以内だった。$m=4\pi$ の物質波では運動エネルギーは速さの二乗の $\mathbf{6.283185}$ 倍（$2\pi$）で、深い水の波の $2$ は論文515 が確かめた位相速度と群速度の比である（第2節）。

第三に、速さを上げると、比は $\gamma/(1+\gamma)$ で $1/2$ から $1$ へ動く。$m=4\pi$ の粒子で $\beta=0.5$ なら $\mathbf{0.535898385}$、$0.99$ なら $0.876372452$ で、エネルギーの運動量に対する冪は $1+1/\gamma$（$\beta=0.5$ で $1.866025404$）だった。運動の部分のハミルトニアンとラグランジアンの比はちょうど $\gamma$ で、遅い極限で二つが等しいことが $1/2$ の出どころである（第3節）。

第四に、これが本稿の芯である。転がる輪の $1$ は、光の $1$ とは別の根から来る。並進の運動量で割ると輪は $1.000000$ だが、正準運動量で割ると五つの形とも $0.500000$ で、並進の運動量に対するエネルギーの冪は五つとも $2.000000$ のままだった。$m=4\pi$ の輪の運動エネルギーは速さの二乗の $12.566371$ 倍（$4\pi$）で、正準運動量は速さの $\mathbf{25.132741}$ 倍（$8\pi$）である（第4節）。

第五に、分離子は、割った運動量が正準運動量か、並進の運動量かである。正準運動量で割れば比は冪の逆数で、光の $1$ はエネルギーが運動量の一乗になったことから来る。並進の運動量で割ると、回転に回ったエネルギーの分だけ比が上がり、輪の $1$ はそこから来る（第5節）。

キーワード：運動エネルギー、位相速度、群速度、正準運動量、ルジャンドル変換、転がる剛体

Abstract

Paper 18 wrote kinetic energy as $2\pi v^2$ with $m=4\pi$. Momentum times speed is then $4\pi v^2$, and kinetic energy is exactly half of it.This paper counts what the ratio of kinetic energy to momentum times speed measures, using power-law dispersions, three waves, a relativistic particle and rolling bodies, and separates where the ratio’s value $1$ comes from in two cases.No new theorem or law is claimed.

First, the ratio is the phase velocity over the group velocity, and one over the power of momentum in the energy、taking the energy as momentum to the power $n$, the ratio is $2$, $1$, $0.666666667$, $0.5$ and $0.333333333$ for $n=0.5$, $1$, $1.5$, $2$ and $3$, matching the reciprocal and the phase over group velocity within $6.9\times10^{-11}$ (Section 2).

Second, a slow matter wave gives $1/2$, light gives $1$, and a deep-water wave gives $2$、within $1.7\times10^{-10}$ at three wavenumbers. For a matter wave with $m=4\pi$, kinetic energy is $\mathbf{6.283185}$ ($2\pi$) times the squared speed, and the $2$ of the deep-water wave is the ratio of phase to group velocity confirmed in Paper 515 (Section 2).

Third, as the speed rises, the ratio moves from $1/2$ to $1$ as $\gamma/(1+\gamma)$、for a particle with $m=4\pi$ it is $\mathbf{0.535898385}$ at $\beta=0.5$ and $0.876372452$ at $0.99$, and the power of momentum in the energy is $1+1/\gamma$ ($1.866025404$ at $\beta=0.5$). The ratio of the kinetic parts of the Hamiltonian and the Lagrangian is exactly $\gamma$, and their equality in the slow limit is where the $1/2$ comes from (Section 3).

Fourth, and this is the core, the $1$ of a rolling hoop comes from a different root than the $1$ of light、dividing by translational momentum gives $1.000000$ for the hoop, but dividing by canonical momentum gives $0.500000$ for all five shapes, and the power of translational momentum in the energy stays $2.000000$ for all five. With $m=4\pi$ the hoop’s kinetic energy is $12.566371$ ($4\pi$) times the squared speed, and its canonical momentum is $\mathbf{25.132741}$ ($8\pi$) times the speed (Section 4).

Fifth, the separator is whether the momentum divided by is the canonical one or the translational one、dividing by canonical momentum, the ratio is one over the power, and the $1$ of light comes from the energy having become the first power of momentum. Dividing by translational momentum, the ratio rises by the energy that went into rotation, and that is where the hoop’s $1$ comes from (Section 5).

Keywords: kinetic energy, phase velocity, group velocity, canonical momentum, Legendre transform, rolling rigid body

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/913/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/913 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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