YOI 974：倍音がずれる弦では、どの倍音をそろえるかでオクターブの広がりが一つに決まらない

論文974 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/974 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文974】倍音がずれる弦では、どの倍音をそろえるかでオクターブの広がりが一つに決まらない

@misc{yamagishi2026yoi974,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {On a String with Stray Overtones, Which Overtones Are Matched Decides How Wide the Octave Is},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/974},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969451・969456・969461・969490 に記録されました（2026年10月01日 23:00（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

曲げの硬さがある弦では倍音が整数倍より高くずれ、巻き弦ではそのずれが小さい（論文942・958）。そこでは、ずれに合わせて音程を広げる調律は扱わなかった。本稿は、958 の巻き弦と素の弦の曲げの係数で、下の音 110 Hz に上の音を「下の 2 倍音と上の基音」「下の 4 倍音と上の 2 倍音」「下の 6 倍音と上の 3 倍音」のどれかで合わせ、オクターブがどれだけ広がり、ほかの組がどれだけうなるかを数える。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、どの倍音で合わせてもオクターブは広がる。素の弦（曲げの係数 $1.681419\times10^{-3}$）では、2 倍音・4 倍音・6 倍音で合わせると、基音どうしの比は 2 倍より $4.3481$・$17.1773$・$\mathbf{37.8711}$ セント広かった（第2節）。

第二に、合わせなかった組はうなる。素の弦を 2 倍音で合わせると、4 倍音と上の 2 倍音は毎秒 $\mathbf{3.291949}$ 回、6 倍音と上の 3 倍音は $13.034495$ 回うなった。6 倍音で合わせると 2 倍音と上の基音が $4.315949$ 回うなった（第2節）。

第三に、巻き弦では同じことが桁違いに小さい。巻き弦（$5.163611\times10^{-5}$）の広がりは $0.1341$・$0.5361$・$1.2054$ セントで、2 倍音で合わせたときの 4 倍音のうなりは毎秒 $0.102204$ 回だった（第2節）。

第四に、広がりは曲げの係数と倍音の番号だけで決まる。広がりは、(1 + B m²)/(1 + B k²) の 2 を底とする対数に 600 を掛けたセント（下の m 倍音と上の k 倍音）の閉じた式と $10^{-9}$ セント以内で一致し、2 倍音で合わせた広がりは 958 の 2 倍音のずれ $0.1341$・$4.3481$ セントと一致した（第3節）。

第五に、分離子は、オクターブを基音で数えるか、そろえる倍音の番号で数えるかである。基音で数えれば、オクターブは 2 倍の一つに決まる。倍音をそろえて数えれば、そろえる番号ごとに違う広がりになり、6 倍音で合わせた広がりは 2 倍音の $8.709748$ 倍（素の弦）だった（第4節）。

キーワード：調律、オクターブの広がり、非調和性、倍音、うなり、弦の振動

Abstract

On a string with bending stiffness, overtones stray sharp of whole multiples, and on a wound string the departure is small (Papers 942 and 958). Tuning that widens intervals to match those departures was not treated there.Using the stiffness coefficients of the wound and plain strings of Paper 958, this paper tunes an upper note to a lower note of 110 Hz by matching the lower 2nd overtone to the upper fundamental, the lower 4th to the upper 2nd, or the lower 6th to the upper 3rd, and counts how far the octave widens and how fast the other pairs beat.No new theorem or law is claimed.

First, whichever overtones are matched, the octave widens: on the plain string (stiffness coefficient $1.681419\times10^{-3}$), matching the 2nd, 4th and 6th overtones made the ratio of fundamentals $4.3481$, $17.1773$ and $\mathbf{37.8711}$ cents wider than 2 (Section 2).

Second, unmatched pairs beat: with the plain string matched at the 2nd overtone, the lower 4th and upper 2nd beat $\mathbf{3.291949}$ times per second and the lower 6th and upper 3rd $13.034495$ times. Matched at the 6th, the lower 2nd and upper fundamental beat $4.315949$ times (Section 2).

Third, on the wound string the same is smaller by orders: on the wound string ($5.163611\times10^{-5}$) the widenings were $0.1341$, $0.5361$ and $1.2054$ cents, and the 4th-overtone beat when matched at the 2nd was $0.102204$ per second (Section 2).

Fourth, the widening is set by the stiffness coefficient and the overtone numbers alone: the widening matched the closed form of 600 times the base-2 logarithm of (1 + B m²)/(1 + B k²) cents (lower mth, upper kth) within $10^{-9}$ cents, and the widening when matched at the 2nd overtone matched the 2nd-overtone departures of Paper 958, $0.1341$ and $4.3481$ cents (Section 3).

Fifth, the separator is whether the octave is counted by the fundamentals or by the numbers of the matched overtones: counted by fundamentals, the octave is one ratio of 2. Counted by matched overtones, each choice of number gives a different widening, and matching at the 6th widened it $8.709748$ times as much as matching at the 2nd (plain string) (Section 4).

Keywords: tuning, octave stretch, inharmonicity, overtones, beats, string vibration

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/974/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/974 はいつも最新の版を指します）。

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