YOI 1004：交点を消す円板は、5 次元以上では自分と交わらず、4 次元でだけ点で交わる

論文1004 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1004 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22823652）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi1004,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The Disk That Cancels Intersections Avoids Itself from Dimension Five Up and Meets Itself in Points Only in Dimension Four},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1004},
  doi = {10.5281/zenodo.22823652},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969451・969456・969461・969490 に記録されました（2026年10月01日 23:00（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

ホイットニーの技法は、n 次元の多様体の中で p 次元と q 次元（p＋q＝n）の二つが符号の逆な二点で交わるとき、二点を結ぶ円を 2 次元の円板で埋め、円板に沿って押して二点を消す。h-同境定理（スメイル 1962）は端の次元が 5 以上でこの技法を使い、4 次元の端では、位相の圏でフリードマン（1982）が成り立つことを、微分の圏でドナルドソン（1987）が成り立たない例を示した。本稿は、一般の位置にある a 次元と b 次元が交わる次元 a＋b−n を、表と乱数の三角形・四面体で数える。新しい定理は主張しない。

第一に、円板が自分と交わる次元は 4−n で、5 次元以上では負、4 次元でだけ 0 になる。円板と P（2＋p−n）、円板と Q（2＋q−n）と合わせた三つがそろって 0 になるのは、n＝2〜12 の分け方 36 通りのうち (n, p, q)＝(4, 2, 2) だけだった。三つがそろって負になるのは p と q が 3 以上の 16 通りで、最小の n は 6 である（第2節）。

第二に、これが本稿の芯である。乱数の三角形二つは、R⁴ では点で交わり、R⁵ では交わらない。400000 組ずつで、交わる割合は R³ で $\mathbf{0.279247}$、R⁴ で $\mathbf{0.055670}$、R⁵ と R⁶ で 0 だった。R⁵ と R⁶ に植えた交点は 20000 組ずつすべて見つけたので、0 は見落としではない（第3節）。

第三に、2 次元と 3 次元は、R⁵ でちょうど点で交わる。乱数の三角形と四面体の交わる割合は R⁵ で $\mathbf{0.024450}$、R⁶ で 0 だった。5 次元の (2, 3) の分け方では、円板は自分とは交わらないが、3 次元の Q とは点で交わる（第3節）。

第四に、曲がった円板は、R³ で線、R⁴ で点、R⁵ で空の交わりを持つ、三角形 1152 枚に分けた同じ円板を置くと、頂点を共有しない 656443 組のうち交わる組は R³ で 253、R⁴ で 3、R⁵ で 0 だった（第4節）。

第五に、R⁴ の交点の符号は正と負がほぼ半々である。乱数の三角形二つの交点 22268 のうち正の割合は $\mathbf{0.504221}$ で、技法が消すのは符号の逆な二点の組である（第3節）。

第六に、分離子は、円板の次元 2 が中間の次元 n/2 に届くかである。交わらせる二つの次元の和が点になる次元を決め、円と円板は 3、円板と円板は 4、円板と 3 次元は 5 である（第5節）。

キーワード：ホイットニーの技法、一般の位置、h-同境定理、自己交差、交わりの次元、乱数の三角形

Abstract

The Whitney trick works when a p-dimensional and a q-dimensional submanifold (p + q = n) of an n-manifold meet in two points of opposite sign: the circle joining the two points is filled by a 2-dimensional disk, and pushing along the disk removes both points.The h-cobordism theorem (Smale 1962) uses this trick when the ends have dimension at least 5; for 4-dimensional ends, Freedman (1982) showed that it holds in the topological category and Donaldson (1987) gave examples where it fails in the smooth category.This paper counts the dimension a + b − n in which an a-dimensional and a b-dimensional piece in general position meet, using a table and random triangles and tetrahedra. No new theorem is claimed.

First, the disk meets itself in dimension 4 − n, which is negative from dimension 5 up and zero only in dimension 4、together with the disk and P (2 + p − n) and the disk and Q (2 + q − n), the three are all zero only for (n, p, q) = (4, 2, 2) among the 36 splits with n = 2 to 12. The three are all negative for the 16 splits with p and q at least 3, the smallest n being 6 (Section 2).

Second, and this is the core. Two random triangles meet in points in R⁴ and do not meet in R⁵、with 400000 pairs each, the fraction that meet was $\mathbf{0.279247}$ in R³, $\mathbf{0.055670}$ in R⁴ and 0 in R⁵ and R⁶. All 20000 intersections planted in each of R⁵ and R⁶ were found, so the 0 is not a miss (Section 3).

Third, 2 and 3 dimensions meet exactly in points in R⁵、random triangles and tetrahedra met with fraction $\mathbf{0.024450}$ in R⁵ and 0 in R⁶. For the split (2, 3) in dimension 5, the disk does not meet itself but meets the 3-dimensional Q in points (Section 3).

Fourth, a bent disk meets itself in lines in R³, points in R⁴ and nowhere in R⁵、placing the same disk of 1152 triangles, the number of meeting pairs among the 656443 pairs sharing no vertex was 253 in R³, 3 in R⁴ and 0 in R⁵ (Section 4).

Fifth, the signs of intersections in R⁴ are nearly half positive and half negative、of the 22268 intersections of random triangle pairs, the positive fraction was $\mathbf{0.504221}$; the trick removes pairs of points of opposite sign (Section 3).

Sixth, the separator is whether the disk dimension 2 reaches the middle dimension n/2、the sum of the two dimensions being intersected sets where they meet in points: 3 for a circle and a disk, 4 for two disks, 5 for a disk and a 3-dimensional piece (Section 5).

Keywords: Whitney trick, general position, h-cobordism theorem, self-intersection, intersection dimension, random triangles

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/1004/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1004 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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