YOI 1007：臨界質量は皮と中身の釣り合いで決まり、立方体の割り増しは表面積の係数と一致しない

論文1007 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1007 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22823803）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi1007,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Critical Mass Is Set by Skin Balancing Content, Yet a Cube's Extra Volume Does Not Match Its Surface Coefficient},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1007},
  doi = {10.5281/zenodo.22823803},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969451・969456・969461・969490 に記録されました（2026年10月01日 23:00（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

核分裂の連鎖反応が続くかどうかは、中性子が中身で増える分と、皮から漏れる分の釣り合いで決まる。本稿は、一群拡散の裸の炉心（反射体も外挿距離も置かず、長さを拡散距離 L で測り、材料は無限増倍率 k∞ だけで表す）で、この釣り合いを数え、形を替えたときの臨界体積を表面積の係数と比べる。新しい定理も法則も主張せず、実在の燃料の値は使わない。

第一に、球の臨界は、最初の固有値 B と半径 R の積が π になるところである。差分 1600 点で B R は $\mathbf{3.141592150}$ で、臨界半径は π L を k∞−1 の平方根で割った値、k∞＝2 で $\mathbf{3.141593}$ L、1.5 で $\mathbf{4.442883}$ L だった（第2節）。

第二に、これが本稿の芯である。皮から漏れる分と中身で増える分の比は、臨界半径との比の二乗になる。漏れる分を表面の傾きから、増える分を体積の積分から別々に数えると、半径が臨界の 0.5・1・2 倍で比は 4・1・0.25 になり、臨界半径との比の二乗と相対差 $1.735$×10⁻¹⁶ 以内で一致した（第3節）。

第三に、立方体の臨界体積は球の $\mathbf{1.240490}$ 倍で、表面積の係数 $\mathbf{1.240701}$ と一致しない。立方体の最初の固有値は三次元の疎行列でも一次元の三倍でも同じで、臨界体積の比は 9√3/(4π)。同じ体積での表面積の係数（6/π の立方根）はそれより 0.000211 大きく、相対差は $1.701$×10⁻⁴ だった（第4節）。

第四に、円柱では、臨界に最も得な形と表面積が最も小さい形が違う。臨界体積が最小になる円柱は高さ/直径が $\mathbf{0.923743}$ で球の $\mathbf{1.141775}$ 倍、表面積が最小の円柱は高さ＝直径である。臨界が最小の形での表面積の係数は $\mathbf{1.145522}$ で、臨界の比より 0.003747 大きい（第4節）。

第五に、密度を 2 倍にすると臨界質量は 4 分の 1 になる。断面積が密度に比例し拡散係数が反比例すると、拡散距離と臨界半径は半分になり、臨界質量は $\mathbf{0.250000}$ 倍だった（第5節）。

第六に、分離子は、形の重さを決めるのが表面積か、最初の固有値か、皮と中身の釣り合いは表面積と体積の言葉で書けるが、形を替えたときの臨界体積を決めるのは最初の固有値で、表面積の係数とは小数第四位でずれる（第6節）。

キーワード：臨界質量、一群拡散、バックリング、表面積と体積、ベッセル関数の零点、形の最適化

Abstract

Whether a fission chain reaction keeps going is decided by the balance between neutrons gained in the content and neutrons leaking through the skin.This paper counts that balance in a bare one-group diffusion core (no reflector, no extrapolation distance, lengths measured in the diffusion length L, and the material represented only by the infinite multiplication factor k∞), and compares critical volumes of other shapes with surface-area coefficients.No new theorem or law is claimed, and no values for real fuels are used.

First, a sphere is critical where the product of the first eigenvalue B and the radius R is π、with 1600 grid points the finite-difference B R was $\mathbf{3.141592150}$, and the critical radius is π L divided by the square root of k∞ − 1: $\mathbf{3.141593}$ L for k∞ = 2 and $\mathbf{4.442883}$ L for 1.5 (Section 2).

Second, and this is the core. Neutrons leaking through the skin over those gained in the content equal the square of the critical radius over the radius、counting leakage from the surface slope and gain from the volume integral separately, the ratio was 4, 1 and 0.25 at 0.5, 1 and 2 times the critical radius, agreeing with the squared radius ratio within a relative difference of $1.735$×10⁻¹⁶ (Section 3).

Third, a cube’s critical volume is $\mathbf{1.240490}$ times the sphere’s and does not match its surface coefficient $\mathbf{1.240701}$、the cube’s first eigenvalue is the same from a 3-dimensional sparse matrix and from three times the 1-dimensional one, and the critical-volume ratio is 9√3/(4π). The equal-volume surface coefficient (the cube root of 6/π) is 0.000211 larger, a relative difference of $1.701$×10⁻⁴ (Section 4).

Fourth, for a cylinder the shape best for criticality differs from the shape with least surface、the cylinder with the smallest critical volume has height over diameter $\mathbf{0.923743}$ and is $\mathbf{1.141775}$ times the sphere, while the cylinder with least surface has height equal to diameter. At the critical optimum, the surface coefficient is $\mathbf{1.145522}$, 0.003747 above the critical ratio (Section 4).

Fifth, doubling the density cuts the critical mass to a quarter、with cross sections proportional to density and the diffusion coefficient inversely proportional, the diffusion length and critical radius halve, and the critical mass became $\mathbf{0.250000}$ times (Section 5).

Sixth, the separator is whether the weight of a shape is set by surface area or by the first eigenvalue、the skin-content balance can be written in terms of surface and volume, but the critical volume of another shape is set by the first eigenvalue and departs from the surface coefficient in the fourth decimal place (Section 6).

Keywords: critical mass, one-group diffusion, buckling, surface and volume, Bessel function zero, shape optimization

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/1007/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1007 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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