YOI 1014：トムソン問題の最適配置は分からないが、配位の欠陥の総和はいつも 12 である

論文1014 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1014 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22829288）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi1014,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The Optimal Arrangement in the Thomson Problem Is Unknown, but the Coordination Defects Always Sum to Twelve},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1014},
  doi = {10.5281/zenodo.22829288},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969451・969456・969461・969490 に記録されました（2026年10月01日 23:00（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

トムソン問題は、単位球面に N 個の同じ点電荷を置いて、クーロンエネルギーが最も小さくなる配置を問う。一般の N での答えは知られていない。本稿は、配置を凸包で三角形に分け、頂点ごとの隣の数（配位数 q）と角欠損を数える。新しい定理も法則も主張せず、見つけた配置が全体の最小であるとも言わない。

第一に、これが本稿の芯である。欠陥の総和 Σ(6−q) は、どの配置でも 12 だった。N＝12 から 282 までの六通りで最小化を始め直して得た局所最小 44 個はすべて 12 で、最小化しない乱数の点（N＝12・50・200・1000）でも 12 だった（第3節・第4節）。

第二に、5 配位の頂点の個数は一つに決まらない。12・13・14・15・17・18・20 と動き、動いた分だけ 7 配位が現れて総和を 12 に保つ。N＝200 の最も低い配置は 5 配位 14・7 配位 2 だった（第3節）。

第三に、角欠損の総和はいつも 4π だが、5 配位の頂点がそれを全部運ぶのは正二十面体だけである。正二十面体では各頂点がちょうど π/3 を運ぶ。最も低い配置で 5 配位の頂点が運ぶ割合は、N＝32 で $\mathbf{0.360945}$、72 で $\mathbf{0.156934}$、122 で $\mathbf{0.092409}$、200 で $\mathbf{0.065510}$、282 で $\mathbf{0.049323}$ と下がり、残りは 6 配位の頂点に散る（第5節）。

第四に、N＝12 の最小化は正二十面体に着く。正二十面体の頂点の座標から出したエネルギー $\mathbf{49.165253058}$ と、最小化の結果の差は $1.421$×10⁻¹⁴ だった（第2節）。

第五に、エネルギーの値は配置ごとに動く。N＝122 では 10 回の出発から 9 個の違う局所最小が出て、最も低いものは $\mathbf{6698.560684053}$ だった。一様に広げた電荷の値 N²/2 からの差を N の 3/2 乗で割ると、N＝12 の $\mathbf{0.549319}$ から N＝282 の $\mathbf{0.552016}$ まで少しずつ増える（第6節）。

第六に、分離子は、総和か、個数と分け持ち方か、総和（12 と 4π）はオイラーの式とデカルトの定理で決まり、エネルギーを見ない。個数と、4π を頂点がどう分け持つかは、配置ごとに動く（第7節）。

キーワード：トムソン問題、オイラーの式、デカルトの定理、角欠損、配位数、ガウス＝ボンネの定理

Abstract

The Thomson problem asks for the arrangement of N equal point charges on the unit sphere that minimizes the Coulomb energy. The answer for general N is not known.This paper triangulates arrangements by their convex hull and counts, at each vertex, the number of neighbours (the coordination number q) and the angular defect.No new theorem or law is claimed, and it is not claimed that the arrangements found are global minima.

First, and this is the core. The defect sum Σ(6−q) was 12 for every arrangement、all 44 local minima found by restarting the minimization for six values of N from 12 to 282 gave 12, and so did random points that were never minimized (N = 12, 50, 200, 1000) (Sections 3 and 4).

Second, the number of five-coordinated vertices is not fixed、it took the values 12, 13, 14, 15, 17, 18 and 20, and seven-coordinated vertices appeared in step to keep the sum at 12. The lowest arrangement found for N = 200 had 14 five-coordinated and 2 seven-coordinated vertices (Section 3).

Third, the total angular defect is always 4π, but only the icosahedron has its five-coordinated vertices carry all of it、in the icosahedron each vertex carries exactly π/3. In the lowest arrangements found, the share carried by five-coordinated vertices falls to $\mathbf{0.360945}$ for N = 32, $\mathbf{0.156934}$ for 72, $\mathbf{0.092409}$ for 122, $\mathbf{0.065510}$ for 200 and $\mathbf{0.049323}$ for 282, the rest spreading over six-coordinated vertices (Section 5).

Fourth, minimization for N = 12 lands on the icosahedron、the energy computed from the icosahedron’s vertex coordinates, $\mathbf{49.165253058}$, differed from the minimized value by $1.421$×10⁻¹⁴ (Section 2).

Fifth, the value of the energy moves from arrangement to arrangement、for N = 122, ten starts gave nine different local minima, the lowest being $\mathbf{6698.560684053}$. The shortfall from the uniformly spread value N²/2, divided by N to the power 3/2, rises slowly from $\mathbf{0.549319}$ at N = 12 to $\mathbf{0.552016}$ at N = 282 (Section 6).

Sixth, the separator is whether one looks at the sum or at the count and the sharing、the sums (12 and 4π) are fixed by Euler’s formula and Descartes’ theorem and do not see the energy. The count, and how the vertices share 4π, move from arrangement to arrangement (Section 7).

Keywords: Thomson problem, Euler's formula, Descartes' theorem, angular defect, coordination number, Gauss-Bonnet theorem

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/1014/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1014 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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