YOI 1015：格子点で数えた中身の誤差は、低い次元では皮の揺らぎ、高い次元では一つの殻の段差で決まる

論文1015 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1015 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22829339）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi1015,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Counting a Ball by Lattice Points, the Error Comes from the Skin in Low Dimensions and from One Shell in High Ones},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1015},
  doi = {10.5281/zenodo.22829339},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969451・969456・969461・969490 に記録されました（2026年10月01日 23:00（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

半径 r の球の中の格子点を数えると、体積 V r の d 乗（中身）からずれる。2 次元でこのずれの大きさを問うのがガウスの円問題で、2 次元と 3 次元ではまだ解けていない。本稿は、ずれを次元 d＝2 から 6 まで同じ数え方で測り、一つの殻（点の並ぶ一枚の球面）の段差と比べる。新しい定理も法則も主張せず、冪を証明もしない。

第一に、これが本稿の芯である。ずれの冪は、2 次元では皮の揺らぎの平方根、4 次元以上では一つの殻の段差に合う。半径 1000 までで当てはめた冪は、d＝2 で $\mathbf{0.501657}$、3 で $\mathbf{1.088426}$、4 で $\mathbf{2.002565}$、5 で $\mathbf{3.000074}$、6 で $\mathbf{3.999919}$ だった。皮の揺らぎの平方根の見立ては (d−1)/2、殻の段差の見立ては d−2 で、大きいほうが当たる（第2節）。

第二に、4 次元以上では、ずれは一回の段差で決まる。ずれを一つの殻の段差で割った比の冪は、d＝4 で $\mathbf{0.002552}$、5 で $\mathbf{-0.000013}$、6 で $\mathbf{-0.000128}$ とほぼ 0 で、比そのものは $\mathbf{0.803320}$・$\mathbf{0.730394}$・$\mathbf{0.712541}$ に止まる（第3節）。

第三に、2 次元では段差の積み重ねが勝ち、3 次元はその境目に居る。比の冪は d＝2 で $\mathbf{0.416402}$、3 で $\mathbf{0.086420}$ だった。文献で冪が決まっているのは 4 次元以上で、未解決の 2 次元と 3 次元は、比の冪が 0 にならない次元と重なる（第3節）。

第四に、多角形なら皮の項はちょうど決まり、円では平均で消える。直角二等辺三角形と正方形を 1 倍から 1000 倍に広げると、格子点の数と面積の差はどれも境界の点の数の半分に 1 を足した値にちょうど等しかった。円では、ずれの平均は二乗平均の $\mathbf{-0.000362}$ 倍で、皮の長さ $\mathbf{5441.398093}$ に対して二乗平均は $\mathbf{46.807678}$ だった（第4節）。

第五に、数え方は三通りで確かめた。表し方の数を畳み込みで作り、2 次元は床関数での直接の数え（n＝999999 で 3141521 点）、4 次元はヤコビの式、3 次元は小さな n の総当たりと一致した（第1節）。

第六に、分離子は、段差の積み重ねか、一回の段差か、一つの殻に乗る点の数の揺れが次元とともに大きくなり、4 次元で皮の揺らぎの積み重ねを追い越す（第5節）。

キーワード：ガウスの円問題、格子点、次元、ピックの式、ヤコビの式、表し方の数

Abstract

Counting the lattice points in a ball of radius r departs from the volume V times r to the power d (the content). Asking how large this departure is in two dimensions is the Gauss circle problem, and it is still unsolved in two and three dimensions.This paper measures the departure in the same way for dimensions d = 2 to 6 and compares it with the jump of a single shell (one sphere of points).No new theorem or law is claimed, and no exponent is proved.

First, and this is the core. The exponent of the departure matches the square root of the skin’s fluctuation in two dimensions and the jump of a single shell from four dimensions up、fitted up to radius 1000, the exponents were $\mathbf{0.501657}$ for d = 2, $\mathbf{1.088426}$ for 3, $\mathbf{2.002565}$ for 4, $\mathbf{3.000074}$ for 5 and $\mathbf{3.999919}$ for 6. The skin estimate is (d−1)/2, the shell estimate is d−2, and the larger one fits (Section 2).

Second, from four dimensions up, the departure is set by a single jump、the exponent of the departure divided by the jump of a single shell was $\mathbf{0.002552}$ for d = 4, $\mathbf{-0.000013}$ for 5 and $\mathbf{-0.000128}$ for 6, nearly zero, the ratio itself staying at $\mathbf{0.803320}$, $\mathbf{0.730394}$ and $\mathbf{0.712541}$ (Section 3).

Third, in two dimensions the accumulation of jumps wins, and three dimensions sit at the boundary、the exponent of the ratio was $\mathbf{0.416402}$ for d = 2 and $\mathbf{0.086420}$ for 3. The literature fixes the exponent from four dimensions up, and the unsolved dimensions 2 and 3 coincide with those where this exponent is not zero (Section 3).

Fourth, for a polygon the skin term is fixed exactly, and for a circle it cancels on average、scaling a right isosceles triangle and a square by 1 to 1000, the difference between the lattice count and the area was always exactly half the number of boundary points plus one. For the circle, the mean departure was $\mathbf{-0.000362}$ of the root mean square, which was $\mathbf{46.807678}$ against a skin length of $\mathbf{5441.398093}$ (Section 4).

Fifth, the counting was checked three ways、the representation numbers were built by convolution; in two dimensions they matched direct counting with the floor function (3141521 points at n = 999999), in four dimensions Jacobi’s formula, and in three dimensions brute force for small n (Section 1).

Sixth, the separator is whether the error is an accumulation of jumps or a single jump、the fluctuation in the number of points on one shell grows with dimension and overtakes the accumulated fluctuation of the skin in four dimensions (Section 5).

Keywords: Gauss circle problem, lattice points, dimension, Pick's formula, Jacobi's formula, representation numbers

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/1015/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1015 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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