YOI 1017：「〜以外にもう無いか」の見立ての答えは ln ln x で、探す上限を e 乗しないと期待は一つも増えない

論文1017 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1017 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22829416）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi1017,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Wilson and Wieferich Primes Are Expected Like ln ln x: One More Is Expected Only When the Search Limit Is Raised to the Power e},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1017},
  doi = {10.5281/zenodo.22829416},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969451・969456・969461・969490 に記録されました（2026年10月01日 23:00（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

ウィーフェリッヒ素数（2 の p−1 乗を p² で割ると 1 余る）は 1093 と 3511、ウィルソン素数（p−1 の階乗を p² で割ると −1 余る）は 5・13・563、ウォルステンホルム素数は 16843 と 2124679 しか知られていない。「これ以外に存在するか」はどれも未解決である。本稿は、条件が確率 1/p で満たされるという見立てで、見つかった数と、見つからないことを読む。新しい定理も法則も主張せず、無限にあることも証明しない。

第一に、これが本稿の芯である。見つかった数は、1/p の和と同じ大きさだった。自分で探し直すと、ウィーフェリッヒの底 2・3・5・7 とウィルソンとウォルステンホルムの六つで合わせて 12 個が見つかり、見立ての期待（1/p の和）は合計 $\mathbf{14.787410}$ だった。ポアソン分布で 12 個以下になる確率は $\mathbf{0.285599}$ である（第2節・第3節）。

第二に、見立ての前提、商の余りが一様であることは数えられる。フェルマー商を p で割った余りを 5≤p≤10⁶ の 78496 個で十に分けると、カイ二乗は $\mathbf{7.600438}$（自由度 9）、ウィルソン商の 2260 個では $\mathbf{12.176991}$ だった（第4節）。

第三に、外の大きな探索で何も出ないのは、見立ての期待どおりである。ウィルソン素数は 2×10¹³ まで、ウィーフェリッヒ素数は 6.7×10¹⁵ まで探されて新しいものは無い。自分の上限からそこまでの期待は $\mathbf{1.128987}$ と $\mathbf{0.815749}$ で、何も出ない確率は $\mathbf{0.323361}$ と $\mathbf{0.442308}$ である（第5節）。

第四に、次の一個を期待するには、上限を e 乗しなければならない。ln ln x は x を e 乗して初めて 1 増える。ウィルソンなら 2×10¹³ の e 乗、10 の $\mathbf{36.155948}$ 乗、ウィーフェリッヒなら 10 の $\mathbf{43.019732}$ 乗まで探して、期待がやっと 1 増える（第5節）。

第五に、確率が 1/p² なら、和は収束して有限個しか期待されない。2 の p−1 乗を p³ で割ると 1 余る素数は 10⁷ までに一つも無く、1/p² の和は全部で $\mathbf{0.452247}$、3511 より上では $\mathbf{0.000031369}$ しか残らない（第6節）。

第六に、分離子は、確率が 1/p か 1/p² か、1/p なら和は ln ln x で発散してどこまでも期待が残り、1/p² なら和は収束する。前者の「無い」は探し方の上限の問題で、後者の「無い」は見立ての上でも終わっている（第7節）。

キーワード：ウィーフェリッヒ素数、ウィルソン素数、ウォルステンホルム素数、フェルマー商、メルテンスの定理、ポアソン分布

Abstract

Only 1093 and 3511 are known as Wieferich primes (2 to the power p−1 leaves remainder 1 on division by p²), only 5, 13 and 563 as Wilson primes (the factorial of p−1 leaves −1), and only 16843 and 2124679 as Wolstenholme primes. Whether any others exist is open in every case.This paper reads the numbers found, and the failures to find more, with the estimate that the condition is met with probability 1/p.No new theorem or law is claimed, and infinitude is not proved.

First, and this is the core. The numbers found were of the same size as the sum of 1/p、searching again for Wieferich primes to bases 2, 3, 5 and 7, Wilson primes and Wolstenholme primes found 12 in all, against an estimated expectation (the sum of 1/p) of $\mathbf{14.787410}$ in total. The Poisson probability of 12 or fewer is $\mathbf{0.285599}$ (Sections 2 and 3).

Second, the premise of the estimate, that the quotients are uniform, can be counted、dividing the Fermat quotients modulo p for the 78496 primes 5 ≤ p ≤ 10⁶ into tenths gave a chi-square of $\mathbf{7.600438}$ (9 degrees of freedom), and the 2260 Wilson quotients gave $\mathbf{12.176991}$ (Section 4).

Third, large outside searches finding nothing is just what the estimate expects、Wilson primes have been searched to 2×10¹³ and Wieferich primes to 6.7×10¹⁵ without new ones. The expectations from the limits here up to those are $\mathbf{1.128987}$ and $\mathbf{0.815749}$, and the probabilities of finding nothing are $\mathbf{0.323361}$ and $\mathbf{0.442308}$ (Section 5).

Fourth, expecting one more requires raising the limit to the power e、ln ln x grows by 1 only when x is raised to the power e. For Wilson primes that is 2×10¹³ to the power e, 10 to the power $\mathbf{36.155948}$, and for Wieferich primes 10 to the power $\mathbf{43.019732}$, before the expectation finally grows by one (Section 5).

Fifth, with probability 1/p², the sum converges and only finitely many are expected、no prime up to 10⁷ has 2 to the power p−1 leaving remainder 1 on division by p³; the sum of 1/p² over all these primes is $\mathbf{0.452247}$, and above 3511 only $\mathbf{0.000031369}$ remains (Section 6).

Sixth, the separator is whether the probability is 1/p or 1/p²、with 1/p the sum diverges like ln ln x and expectation remains however far one goes; with 1/p² it converges. The absence in the first case is a matter of the search limit, while in the second it is over even in the estimate (Section 7).

Keywords: Wieferich prime, Wilson prime, Wolstenholme prime, Fermat quotient, Mertens' theorem, Poisson distribution

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/1017/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1017 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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