YOI 1018：メルセンヌ素数は無数に、フェルマー素数は有限個と見立てられる：指数の増え方が和を分ける

論文1018 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1018 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22829479）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi1018,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Mersenne Primes Are Expected Without End and Fermat Primes to Stop, the Growth of the Exponent Splitting the Sum},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1018},
  doi = {10.5281/zenodo.22829479},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969451・969456・969461・969490 に記録されました（2026年10月01日 23:00（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

2 の p 乗から 1 を引いた数（メルセンヌ数）の素数が無数にあるか、2 の 2 の n 乗 乗に 1 を足した数（フェルマー数）の素数が F4 より先にあるかは、どちらも未解決である。メルセンヌ素数が無数にあることは、偶数の完全数が無数にあることと同じ問いである。本稿は、素数判定を自分で走らせ、見立ての期待の和と並べる。新しい定理も法則も主張せず、どちらの答えも証明しない。

第一に、これが本稿の芯である。小さい素数で割れない分を補正すると、メルセンヌ素数の期待は見つかった数と合う。ルカ＝レーマー判定で p≤5000 に 20 個の指数（2 から 4423）が見つかった。約数が 2p+1 以上であることを補正に入れた期待は $\mathbf{21.287726}$、補正しなければ $\mathbf{3.469954}$ しかない（第2節・第3節）。

第二に、補正の大きさは、メルテンスの第三定理の e の γ 乗の形になる。2p 以下の素数で割れない割り増しと e の γ 乗×ln(2p) の比は、p＝13・521・4423 で $\mathbf{1.053422}$・$\mathbf{1.004791}$・$\mathbf{1.001136}$ だった（第3節）。

第三に、メルセンヌ素数の指数は、対数のはしごにほぼ等間隔に並ぶ、隣り合う指数の比の対数の平均は $\mathbf{0.405338}$（比 $\mathbf{1.499810}$）で、見立ての間隔 ln2 を e の γ 乗で割った $\mathbf{0.389174}$（比 $\mathbf{1.475761}$）と同じ大きさだった。期待は指数の上限が 10 倍になるたびに $\mathbf{5.916595}$ ずつ増える（第4節）。

第四に、フェルマー数では、期待の和が最初の十個ほどで尽きる。ペパンの判定で F0 から F4 は素数、F5 から F14 は合成数だった。約数の形で同じ補正を入れた n≥5 の期待は $\mathbf{0.890536}$ で、F14 まで調べ終えると残る期待は n≥15 の $\mathbf{0.001956745}$ だけである（第5節）。

第五に、補正しなければ、どちらの見立ても外れて見える。補正なしでは、メルセンヌ素数の期待は見つかった 20 個に対して 3.469954、フェルマー数の n≥5 の期待は $\mathbf{0.090168}$ で、割り増しは同じ仕組みから来る（第3節・第5節）。

第六に、分離子は、指数が一つずつ増えるか倍々に増えるか、メルセンヌ数の指数は素数の数だけ一つずつ増えるので和は対数で発散し、フェルマー数の指数は 2 の n 乗と倍々に増えるので和は収束する（第6節）。

キーワード：メルセンヌ素数、フェルマー数、ルカ＝レーマー判定、ペパンの判定、メルテンスの第三定理、完全数

Abstract

Whether infinitely many numbers 2 to the power p minus 1 (Mersenne numbers) are prime, and whether any number 2 to the power 2 to the power n plus 1 (a Fermat number) beyond F4 is prime, are both open. That there are infinitely many Mersenne primes is the same question as whether there are infinitely many even perfect numbers.This paper runs primality tests itself and lines them up against the sum of estimated expectations.No new theorem or law is claimed, and neither answer is proved.

First, and this is the core. Correcting for not being divisible by small primes, the expected number of Mersenne primes matches the number found、the Lucas-Lehmer test found 20 exponents with p ≤ 5000 (from 2 to 4423). The expectation with the correction for divisors being at least 2p+1 is $\mathbf{21.287726}$; without it only $\mathbf{3.469954}$ (Sections 2 and 3).

Second, the size of the correction takes the form e to the power γ of Mertens’ third theorem、the ratio of the boost from not being divisible by primes up to 2p to e to the power γ times ln(2p) was $\mathbf{1.053422}$, $\mathbf{1.004791}$ and $\mathbf{1.001136}$ at p = 13, 521 and 4423 (Section 3).

Third, the exponents of Mersenne primes stand nearly evenly on a logarithmic ladder、the mean logarithm of the ratio of neighbouring exponents was $\mathbf{0.405338}$ (ratio $\mathbf{1.499810}$), the same size as the estimated spacing, ln 2 divided by e to the power γ, $\mathbf{0.389174}$ (ratio $\mathbf{1.475761}$). The expectation grows by $\mathbf{5.916595}$ each time the exponent limit is multiplied by 10 (Section 4).

Fourth, for Fermat numbers the sum of expectations is used up within the first ten or so、Pépin’s test found F0 to F4 prime and F5 to F14 composite. With the same correction from the form of the divisors, the expectation for n ≥ 5 is $\mathbf{0.890536}$, and once F14 has been checked only the $\mathbf{0.001956745}$ of n ≥ 15 remains (Section 5).

Fifth, without the correction, both estimates look wrong、uncorrected, the Mersenne expectation is 3.469954 against the 20 found, and the Fermat expectation for n ≥ 5 is $\mathbf{0.090168}$; the boost comes from the same mechanism in both (Sections 3 and 5).

Sixth, the separator is whether the exponent grows one step at a time or by doubling、the exponents of Mersenne numbers step through the primes one at a time, so the sum diverges logarithmically; the exponents of Fermat numbers double as 2 to the power n, so the sum converges (Section 6).

Keywords: Mersenne prime, Fermat number, Lucas-Lehmer test, Pépin's test, Mertens' third theorem, perfect number

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/1018/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1018 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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