YOI 1019：双子素数の逆数の和は収束するが、収束は双子素数が有限であることを意味しない

論文1019 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1019 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22829508）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi1019,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The Sum of Reciprocals of Twin Primes Converges, but Convergence Does Not Mean There Are Finitely Many},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1019},
  doi = {10.5281/zenodo.22829508},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969451・969456・969461・969490 に記録されました（2026年10月01日 23:00（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

差が 2 の素数の組（双子素数）が無数にあるかは未解決である。一方、その逆数の和が収束することは 1919 年にブルンが示した。ブルンの論文の題名は、この級数が「収束するか、有限である」と書いている。本稿は、収束と有限を分けて数える。新しい定理も法則も主張せず、双子素数が無数にあることも証明しない。

第一に、これが本稿の芯である。和は収束に向かうが、組の数は見立てどおり増え続ける。10⁸ までの双子素数は 440312 組で、ハーディとリトルウッドの見立てとの比は $\mathbf{0.999873}$ だった。逆数の部分和は 10⁶・10⁷・10⁸ で $\mathbf{1.710776931}$・$\mathbf{1.738357044}$・$\mathbf{1.758815621}$ とゆっくり増え、見立ての尾を足すと $\mathbf{1.901913354}$・$\mathbf{1.902188264}$・$\mathbf{1.902167939}$ にまとまる（第2節・第3節）。

第二に、収束は、ひどく遅い。10⁸ まで足しても、見立ての尾 $\mathbf{0.143352318}$（全体の $\mathbf{0.075363}$）がまだ残る。尾を 0.01 より小さくするには、10 の $\mathbf{114.681854}$ 乗まで足さなければならない（第4節）。

第三に、素数全部の和は ln ln x で発散し、差は定数に落ち着く。10⁸ までの素数の逆数の和は $\mathbf{3.174975}$、ln ln x は $\mathbf{2.913474}$ で、差 $\mathbf{0.261501}$ は素数の積から出したマイセル＝メルテンスの定数 $\mathbf{0.261497213}$ に近づいた（第5節）。

第四に、収束する和は、有限の集合にもある。差が 2 ずつの三つ組 (p, p+2, p+4) の素数は、10⁸ までに (3, 5, 7) の一組しかなく、その逆数の和 $\mathbf{0.676190}$ もやはり収束している。和が収束することは、無限の双子素数にも、有限の三つ組にも同じように言える（第6節）。

第五に、見立ての定数は自分で出した。双子素数の定数 C₂ を 10⁷ までの奇素数の積から出すと $\mathbf{0.6601618197}$ だった（第2節）。

第六に、分離子は、和が収束するか、集合が有限か、双子素数の見立ての密度は 1 を ln x の二乗で割った速さで薄まるので、個数は増え続けても逆数の和は収束する。収束は数え方の性質で、集合が有限かどうかは別の問いである（第7節）。

キーワード：双子素数、ブルンの定理、ブルン定数、ハーディ＝リトルウッドの見立て、メルテンスの定理、逆数の和

Abstract

Whether there are infinitely many pairs of primes differing by 2 (twin primes) is open. On the other hand, Brun showed in 1919 that the sum of their reciprocals converges. The title of Brun’s paper says that this series is "convergent or finite".This paper counts convergence and finiteness separately.No new theorem or law is claimed, and infinitude of twin primes is not proved.

First, and this is the core. The sum heads for convergence while the number of pairs keeps growing as estimated、there are 440312 twin prime pairs up to 10⁸, a ratio of $\mathbf{0.999873}$ to the estimate of Hardy and Littlewood. The partial sums of reciprocals rise slowly as $\mathbf{1.710776931}$, $\mathbf{1.738357044}$ and $\mathbf{1.758815621}$ at 10⁶, 10⁷ and 10⁸, and adding the estimated tail brings them together at $\mathbf{1.901913354}$, $\mathbf{1.902188264}$ and $\mathbf{1.902167939}$ (Sections 2 and 3).

Second, the convergence is extremely slow、even summed to 10⁸, an estimated tail of $\mathbf{0.143352318}$ ($\mathbf{0.075363}$ of the whole) remains. To make the tail smaller than 0.01, the sum must run to 10 to the power $\mathbf{114.681854}$ (Section 4).

Third, the sum over all primes diverges like ln ln x, and the difference settles to a constant、the sum of reciprocals of primes up to 10⁸ is $\mathbf{3.174975}$ and ln ln x is $\mathbf{2.913474}$; the difference $\mathbf{0.261501}$ approaches the Meissel-Mertens constant computed from a product over primes, $\mathbf{0.261497213}$ (Section 5).

Fourth, convergent sums also occur for finite sets、triples of primes (p, p+2, p+4) number only one up to 10⁸, (3, 5, 7), and their reciprocal sum $\mathbf{0.676190}$ converges too. Convergence of the sum can be said equally of the infinite twin primes and of the finite triples (Section 6).

Fifth, the constant in the estimate was computed here、the twin prime constant C₂, taken as a product over odd primes up to 10⁷, was $\mathbf{0.6601618197}$ (Section 2).

Sixth, the separator is whether a sum converges or whether a set is finite、the estimated density of twin primes thins as one over the square of ln x, so the reciprocal sum converges even while the count keeps growing. Convergence is a property of the counting, and whether the set is finite is a different question (Section 7).

Keywords: twin primes, Brun's theorem, Brun's constant, Hardy-Littlewood estimate, Mertens' theorem, sum of reciprocals

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/1019/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1019 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

YOI の一覧へ