YOI 1021：連分数の統計は、超越と分かっている数と、分かっていない数と、三次の代数的数を見分けない

論文1021 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1021 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22829609）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi1021,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Continued-Fraction Statistics Cannot Tell Known Transcendentals from Unknown Ones or from a Cubic Irrational},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1021},
  doi = {10.5281/zenodo.22829609},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969451・969456・969461・969490 に記録されました（2026年10月01日 23:00（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

π＋e や πe や γ が超越数かどうかは分かっていない。一方、ほとんどすべての実数では、連分数の部分商の幾何平均がヒンチンの定数に近づくことが知られている（ヒンチン）。本稿は、超越と分かっている数・分かっていない数・三次の代数的数の連分数を 3000 項ずつ展開し、同じ統計で並べる。新しい定理も法則も主張せず、どの数が超越かも証明しない。

第一に、これが本稿の芯である。名前のある八つの数は、乱数の散らばりの中で見分けがつかない。部分商の幾何平均は、超越と分かっている π・e の π 乗・ln 2・ln π で $\mathbf{2.667237}$・$\mathbf{2.699672}$・$\mathbf{2.659773}$・$\mathbf{2.623448}$、分かっていない π＋e・πe・γ で $\mathbf{2.600972}$・$\mathbf{2.677830}$・$\mathbf{2.684892}$、代数的な 2 の三乗根で $\mathbf{2.630640}$ だった。乱数の数 100 個は平均 $\mathbf{2.680329}$・標準偏差 $\mathbf{0.055238}$ で、八つの位置は標準偏差の $\mathbf{1.436645}$ 倍以内に収まった（第2節・第3節）。

第二に、三つの統計はどれも同じ定数のまわりにある。ヒンチンの定数は $\mathbf{2.685452001}$、分母の伸びのレヴィの定数は $\mathbf{1.186569110}$、部分商が 1 になる割合は log₂(4/3)＝$\mathbf{0.415037499}$ で、八つの数の値はそのまわりに散らばる（第2節）。

第三に、いちばん端の π＋e も、証拠にはならない。π＋e の幾何平均は乱数 100 個の中で下から 6 パーセントの位置（標準偏差の −1.436645 倍）で、1 の割合 $\mathbf{0.437146}$ は乱数の最大 $\mathbf{0.435478}$ をわずかに超えた。三つの量は一緒に動き（幾何平均と 1 の割合の相関 $\mathbf{-0.750915}$）、八つを並べれば一つが端に来るのはふつうである（第3節）。

第四に、外れるのは、周期を持つ数と形の決まった数だけである。√2 の幾何平均は 2、黄金比は 1 で、e は 60 項で $\mathbf{2.592229}$、600 項で $\mathbf{5.325766}$ と増え続け、乱数の散らばりの上限を超える（第4節）。

第五に、三次の代数的数も「典型的な数」に見える。2 の三乗根は、周期を持つ二次の数と違い、幾何平均 2.630640（乱数の中で標準偏差の $\mathbf{-0.899555}$ 倍）で超越数と並ぶ（第3節）。

第六に、分離子は、測度で言う「ほとんどすべて」か、名前で指す「この数」か、ヒンチンの定理はほとんどすべての数について言い、どの数が例外かは言わない。名前のある数がどちらに入るかは、数値では決まらない（第5節）。

キーワード：連分数、ヒンチンの定数、レヴィの定数、ガウス＝クズミン、超越数、代数的数

Abstract

Whether π + e, πe or γ is transcendental is not known. On the other hand, it is known that for almost all real numbers the geometric mean of the partial quotients of the continued fraction approaches Khinchin’s constant (Khinchin).This paper expands to 3000 terms the continued fractions of numbers known to be transcendental, numbers not known to be, and a cubic algebraic number, and lines them up by the same statistics.No new theorem or law is claimed, and no number is proved transcendental.

First, and this is the core. The eight named numbers cannot be told apart within the scatter of random numbers、the geometric means of partial quotients were $\mathbf{2.667237}$, $\mathbf{2.699672}$, $\mathbf{2.659773}$ and $\mathbf{2.623448}$ for the known transcendentals π, e to the power π, ln 2 and ln π, $\mathbf{2.600972}$, $\mathbf{2.677830}$ and $\mathbf{2.684892}$ for the undecided π + e, πe and γ, and $\mathbf{2.630640}$ for the algebraic cube root of 2. One hundred random numbers had mean $\mathbf{2.680329}$ and standard deviation $\mathbf{0.055238}$, and the eight positions fell within $\mathbf{1.436645}$ standard deviations (Sections 2 and 3).

Second, all three statistics sit around the same constants、Khinchin’s constant is $\mathbf{2.685452001}$, Lévy’s constant for the growth of denominators is $\mathbf{1.186569110}$, and the share of partial quotients equal to 1 tends to log₂(4/3) = $\mathbf{0.415037499}$; the values for the eight numbers scatter around these (Section 2).

Third, even π + e, at the edge, is no evidence、the geometric mean of π + e lies 6 percent from the bottom of the 100 random numbers (−1.436645 standard deviations), and its share of ones, $\mathbf{0.437146}$, slightly exceeds the random maximum $\mathbf{0.435478}$. The three quantities move together (correlation $\mathbf{-0.750915}$ between geometric mean and share of ones), and among eight numbers it is ordinary for one to sit at an edge (Section 3).

Fourth, only numbers with a period or a fixed pattern stand out、√2 has geometric mean 2 and the golden ratio 1, while e keeps growing, $\mathbf{2.592229}$ at 60 terms and $\mathbf{5.325766}$ at 600 terms, beyond the top of the random scatter (Section 4).

Fifth, a cubic algebraic number also looks like a typical number、unlike periodic quadratic numbers, the cube root of 2 has geometric mean 2.630640 ($\mathbf{-0.899555}$ standard deviations among the random numbers) and stands among the transcendentals (Section 3).

Sixth, the separator is whether one speaks of almost all numbers in measure or of this number by name、Khinchin’s theorem speaks of almost all numbers and does not say which are exceptions. Which side a named number falls on is not settled by numerics (Section 5).

Keywords: continued fraction, Khinchin's constant, Lévy's constant, Gauss-Kuzmin distribution, transcendental number, algebraic number

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/1021/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1021 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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