YOI 1032：「π に 777 は出るか」に数で言えるのは、出るまでの待ち時間が語の自己重なりで決まることである

論文1032 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1032 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22860519）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi1032,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {What Numbers Can Say About "Does 777 Occur in π" Is That the Waiting Time Is Set by the Word's Self-Overlap},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1032},
  doi = {10.5281/zenodo.22860519},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969451・969456・969461・969490 に記録されました（2026年10月01日 23:00（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

ウィトゲンシュタインは『哲学探究』§516 で「π の展開に 777 は出るか」と問い、証明の前にこの問いが意味を持つかを考えた。本稿は、この問いのうち数で言える部分だけを数える。π の桁で 777 が出る位置と、出るまでの待ち時間の期待、3 桁の語 1000 個の初出の分布、乱数の桁との比べである。新しい定理も法則も主張せず、π が正規数であるとも主張しない。

第一に、これが本稿の芯である。出るまでの待ち時間は語の自己重なりで決まる。無作為な桁で語が初めて出るまでの期待は、語の接頭辞と接尾辞が重なる長さ k ごとに 10 の k 乗を足した数（コンウェイの先導数）で、777 は 10＋100＋1000＝$\mathbf{1110}$、123 は $\mathbf{1000}$、121 は $\mathbf{1010}$ である。同じ 3 桁でも、自分と重なる語ほど長く待たせる（第2節）。

第二に、π では 777 は 1589 桁目に出る。小数点以下 300000 桁で、777 の初出は $\mathbf{1589}$ 桁目（期待の $\mathbf{1.431532}$ 倍）、123 は $\mathbf{1924}$ 桁目（$\mathbf{1.924000}$ 倍）、121 は 710、000 は 601、999 は 762、314 は 2120、159 は 3 桁目である（第2節）。

第三に、1000 個の語の初出は期待の分布のとおりである。3 桁の語 1000 個はすべて $\mathbf{8553}$ 桁目（最後は 483）までに出て、初出の平均は $\mathbf{991.994000}$、期待の平均は $\mathbf{1002.000000}$（比 $\mathbf{0.990014}$）で、期待より遅く出た語は 365 個、早く出た語は 635 個である。型ごとの平均は期待 1000 の語 900 個で $\mathbf{981.471111}$、1010 の 90 個で $\mathbf{1022.855556}$、1110 の 10 個で $\mathbf{1661.300000}$ である（第3節）。

第四に、乱数の桁と見分けがつかない。乱数の桁 20 本での全語の初出の平均は $\mathbf{998.342200}$、標準偏差 $\mathbf{24.333544}$ で、π の平均はその $\mathbf{-0.260883}$ 倍の位置にある。型ごとにも乱数は 1000 型で $\mathbf{997.218389}$、1010 型で $\mathbf{1003.056111}$、1110 型で $\mathbf{1057.060000}$（標準偏差 $\mathbf{350.670369}$）で、π の 1110 型の 1661.3 は 10 個だけの平均の散らばりの中である（第4節）。

第五に、777 の 1589 は普通の遅さである。乱数 200 本のうち 777 の初出が 1589 桁目より後だったのは 42 本（$\mathbf{0.210000}$）で、指数近似 exp(−1589/1110)＝$\mathbf{0.238943}$ に近い。20 本の中では 4 本が π より遅かった（第4節）。

第六に、分離子は、語が自分と重なるか、重ならないか、重ならない語（900 個）は 1000、一桁で重なる語（90 個）は 1010、二桁で重なる語（10 個）は 1110 で、π の桁でもこの順に遅い。問いに答えるのは π ではなく、語の形である（第5節）。

キーワード：円周率の桁、パターンの待ち時間、コンウェイの先導数、自己重なり、正規数、ウィトゲンシュタイン

Abstract

In Philosophical Investigations §516 Wittgenstein asked whether 777 occurs in the expansion of π, and whether the question has a sense before a proof.This paper counts only the part of the question that numbers can answer: where 777 occurs in the digits of π, the expected waiting time, the distribution of first occurrences of the 1000 three-digit words, and the comparison with random digits.No new theorem or law is claimed, and π is not claimed to be normal.

First, and this is the core. The waiting time is set by the word’s self-overlap、in random digits the expected wait until a word first occurs is the sum of 10 to the k over the lengths k at which a prefix of the word equals a suffix (Conway’s leading number): 10 + 100 + 1000 = $\mathbf{1110}$ for 777, $\mathbf{1000}$ for 123, $\mathbf{1010}$ for 121. Among words of the same length, the more a word overlaps itself the longer it makes one wait (Section 2).

Second, in π, 777 occurs at digit 1589、in the first 300000 decimals, 777 first occurs at digit $\mathbf{1589}$ ($\mathbf{1.431532}$ times its expectation), 123 at $\mathbf{1924}$ ($\mathbf{1.924000}$ times), 121 at 710, 000 at 601, 999 at 762, 314 at 2120 and 159 at digit 3 (Section 2).

Third, the first occurrences of the 1000 words follow the expected distribution、all 1000 three-digit words occur by digit $\mathbf{8553}$ (the last is 483); the mean first occurrence is $\mathbf{991.994000}$ against an expected mean of $\mathbf{1002.000000}$ (ratio $\mathbf{0.990014}$), with 365 words later than expected and 635 earlier. By type the means are $\mathbf{981.471111}$ for the 900 words expected at 1000, $\mathbf{1022.855556}$ for the 90 at 1010, and $\mathbf{1661.300000}$ for the 10 at 1110 (Section 3).

Fourth, they cannot be told from random digits、over 20 strings of random digits the mean first occurrence of all words is $\mathbf{998.342200}$ with standard deviation $\mathbf{24.333544}$, and the mean for π sits at $\mathbf{-0.260883}$ of that. By type the random means are $\mathbf{997.218389}$ (type 1000), $\mathbf{1003.056111}$ (type 1010) and $\mathbf{1057.060000}$ (type 1110, standard deviation $\mathbf{350.670369}$), so the 1661.3 of π for the 1110 type lies within the scatter of a mean of only 10 words (Section 4).

Fifth, the 1589 of 777 is an ordinary delay、in 42 of 200 random strings ($\mathbf{0.210000}$) the first 777 came after digit 1589, close to the exponential approximation exp(−1589/1110) = $\mathbf{0.238943}$; among the 20 strings, 4 were later than π (Section 4).

Sixth, the separator is whether the word overlaps itself or not、non-overlapping words (900) expect 1000, words overlapping by one digit (90) expect 1010, words overlapping by two (10) expect 1110, and in π they come later in that order. What answers the question is not π but the shape of the word (Section 5).

Keywords: digits of pi, pattern waiting time, Conway's leading number, self-overlap, normal number, Wittgenstein

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/1032/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1032 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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