YOI 1033：正方形の網と三角形の網は同じ冪で世界を写し、違うのは係数だけである

論文1033 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1033 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22860565）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi1033,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {A Square Net and a Triangular Net Describe the World With the Same Exponent, and Only the Coefficient Differs},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1033},
  doi = {10.5281/zenodo.22860565},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969451・969456・969461・969490 に記録されました（2026年10月01日 23:00（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

ウィトゲンシュタインは『論理哲学論考』6.341 で、力学を世界に被せる網にたとえた。網の目の形（正方形でも三角形でも）は任意で、世界について言えるのは「この細かさの網で書ける」ということだけだ、と。本稿は、このたとえを格子点で数える。同じ点密度の三つの格子で円の中の格子点の数と面積の差を取り、誤差の伸び方の冪と係数を分ける。新しい定理も法則も主張せず、冪を証明しない。

第一に、これが本稿の芯である。冪は網によらず、係数は網による。半径 5 から 1000 の乱数 3000 個で、正方格子・三角（六角）格子・縦横比 2 の長方格子（いずれも 1 点／単位面積）の二乗平均誤差を r の p 乗に当てると、p は $\mathbf{0.525037}$・$\mathbf{0.521921}$・$\mathbf{0.542771}$ で幅 $\mathbf{0.020850}$、係数は $\mathbf{1.392341}$・$\mathbf{1.657107}$・$\mathbf{1.119127}$ で、半径 500 付近の二乗平均誤差は $\mathbf{37.021795}$・$\mathbf{41.541899}$・$\mathbf{31.853360}$（幅÷最小 $\mathbf{0.304161}$）である。冪の幅は係数の幅の 10 分の 1 より小さい（第2節）。

第二に、誤差は面積に比べれば消えていく。半径 500 付近の誤差÷面積は $\mathbf{4.714\times10^{-5}}$・$\mathbf{5.289\times10^{-5}}$・$\mathbf{4.056\times10^{-5}}$ で、どの網でも面積の 10 万分の 5 程度である（第2節）。

第三に、網の目を細かくすると誤差は減る。正方格子の密度を 4 倍にすると、半径 500 付近の二乗平均誤差は $\mathbf{35.570822}$ から $\mathbf{14.452407}$ に減る。細かさは世界の側ではなく網の側の量で、6.341 が「世界について言う」とした唯一のものである（第3節）。

第四に、数え上げは既知の値で検算した。正方格子で半径 10 の円の中の点は 317、半径 100 で 31417 で既知の値に一致し、三角格子と長方格子の密度は半径 300 で $\mathbf{1.000048}$・$\mathbf{1.000077}$ である（第2節）。

第五に、本稿の冪は論文1015 の値と 0.02 違う。論文1015 は正方格子で半径 1000 までの数え上げから冪 0.501657 を得た。本稿の正方格子の $\mathbf{0.525037}$ との差は $\mathbf{0.023380}$ で、半径の取り方（乱数の実数の半径と刻み）が違う。差の原因は決めない（第2節）。

第六に、分離子は、動かしたのが網の形か、網の目の細かさか、形を動かせば係数が動き、冪は動かない。細かさを動かせば誤差の大きさが動く。冪は境界の滑らかさ、すなわち世界の側にある（第4節）。

キーワード：格子点、ガウスの円問題、正方格子、三角格子、論理哲学論考、冪

Abstract

In Tractatus 6.341 Wittgenstein likened mechanics to a net laid over the world: the shape of the mesh (square or triangular) is arbitrary, and all that can be said of the world is that it can be described by a net of this fineness.This paper counts the simile with lattice points. Three lattices of the same density are used to count the lattice points inside a circle against its area, and the exponent and coefficient of the error’s growth are separated.No new theorem or law is claimed, and the exponent is not proved.

First, and this is the core. The exponent does not depend on the net, the coefficient does、for 3000 random radii from 5 to 1000, fitting the root-mean-square error of the square, triangular (hexagonal) and 2-to-1 rectangular lattices (each at 1 point per unit area) to r to the power p gives p = $\mathbf{0.525037}$, $\mathbf{0.521921}$ and $\mathbf{0.542771}$, a spread of $\mathbf{0.020850}$, with coefficients $\mathbf{1.392341}$, $\mathbf{1.657107}$ and $\mathbf{1.119127}$ and root-mean-square errors near radius 500 of $\mathbf{37.021795}$, $\mathbf{41.541899}$ and $\mathbf{31.853360}$ (spread over minimum $\mathbf{0.304161}$). The spread of the exponents is less than a tenth of the spread of the coefficients (Section 2).

Second, the error vanishes against the area、near radius 500 the error over the area is $\mathbf{4.714\times10^{-5}}$, $\mathbf{5.289\times10^{-5}}$ and $\mathbf{4.056\times10^{-5}}$, about five parts in a hundred thousand for every net (Section 2).

Third, a finer mesh reduces the error、quadrupling the density of the square lattice reduces the root-mean-square error near radius 500 from $\mathbf{35.570822}$ to $\mathbf{14.452407}$. Fineness is a quantity on the side of the net, the only one that 6.341 allows to say something of the world (Section 3).

Fourth, the counting was checked against known values、the square lattice gives 317 points inside a circle of radius 10 and 31417 inside radius 100, matching known values, and the densities of the triangular and rectangular lattices at radius 300 are $\mathbf{1.000048}$ and $\mathbf{1.000077}$ (Section 2).

Fifth, the exponent here differs from Paper 1015 by 0.02、Paper 1015 obtained 0.501657 for the square lattice from counts up to radius 1000; the $\mathbf{0.525037}$ here differs by $\mathbf{0.023380}$, the radii being sampled differently (random real radii and bins). The cause of the difference is not settled (Section 2).

Sixth, the separator is whether what was changed is the shape of the net or its fineness、changing the shape moves the coefficient and not the exponent; changing the fineness moves the size of the error. The exponent belongs to the smoothness of the boundary, that is, to the side of the world (Section 4).

Keywords: lattice points, Gauss circle problem, square lattice, triangular lattice, Tractatus Logico-Philosophicus, exponent

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/1033/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1033 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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