YOI 1038：ジオイドは、時計が同じ速さで進む面である

論文1038 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1038 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22860780）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi1038,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The Geoid Is the Surface on Which Clocks Run at the Same Rate},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1038},
  doi = {10.5281/zenodo.22860780},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969451・969456・969461・969490 に記録されました（2026年10月01日 23:00（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

赤道の時計は、極の時計より速く動いている。だが中心からは遠い。本稿は、回る地球の海面の上で、この二つがどれだけ正確に打ち消すかを数える。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、これが本稿の芯である。海面の上では、時計はどこでも同じ速さで進む、赤道の時計は速く動くぶん一日 $\mathbf{103.976943}$ ns 遅れ、中心から遠いぶん同じだけ進み、和は一日 $\mathbf{-0.000000608}$ ns にしかならない。速さの項に対する比は $\mathbf{5.843942}$×10 の −9 乗である（第2節）。

第二に、赤道と極だけの話ではない。地心緯度 0 度から 90 度までの七点で、引力と遠心を合わせたポテンシャルの振れ幅は $\mathbf{0.001164}$ m²/s² であった。時計の進みに直すと $\mathbf{1.294748}$×10 の −20 乗、一日あたり $\mathbf{0.000001119}$ ns である。七点の平均は WGS84 が公表する正規ポテンシャルと $\mathbf{0.000158}$ m²/s²（高さに直すと $\mathbf{0.000016}$ m）しか違わない（第3節）。

第三に、打ち消すのは、地球が自分の回転に合わせた形をしているからである。扁平の効き（J2 以降）を入れず引力を GM/r だけにすると、赤道の引力の項は速さの項の $\mathbf{1.943779}$ 倍になって打ち消さず、七点のポテンシャルの振れ幅は $\mathbf{87721933.546989}$ 倍に広がる。海面が等ポテンシャル面であることと、時計がそろうことは、同じ一つの事実である（第2節・第3節）。

第四に、その形は、遠心力と引力の比で決まっている。遠心力と引力の比 m は $\mathbf{3.461391899}$×10 の −3 乗で、一次のクレローの関係 f＝1.5·J2＋0.5·m は $\mathbf{0.003354641}$ を返す。実際の扁平率 $\mathbf{0.003352811}$ との比は $\mathbf{1.000545816}$ である。遠心の項を落とすと比は $\mathbf{0.484353}$ になり、まるで合わない（第4節）。

第五に、だから時計は、高さを測る物差しになる。高さ 1 m あたりの進みは $\mathbf{1.091137}$×10 の −16 乗（一日 $\mathbf{0.009427423}$ ns）で、450 m では一日 $\mathbf{4.242341}$ ns、エベレストの高さでは $\mathbf{83.421950}$ ns になる。逆に読めば、率 10 の −18 乗の時計は高さ $\mathbf{0.009165}$ m を見分ける（第5節）。

第六に、分離子は、同じポテンシャル面で比べるか、同じ地心距離で比べるかである。同じ地心距離に赤道と地心緯度 45 度の二点を置くと、時計は一日 $\mathbf{100.881579}$ ns 食い違う。打ち消すのは海面どうしを比べたときだけで、「高さが同じ」の意味を取り違えると、この百 ns が戻ってくる（第6節）。

キーワード：ジオイド、等ポテンシャル面、時間の遅れ、重力赤方偏移、地球の扁平、相対論的測地

Abstract

A clock on the equator moves faster than one at the pole.It is also farther from the centre.This paper counts how exactly these two cancel on the sea surface of a rotating Earth.No new theorem and no new law is claimed.

First, and this is the core. On the sea surface, clocks run at the same rate everywhere、the equatorial clock loses $\mathbf{103.976943}$ ns a day to its speed and gains exactly as much from its distance from the centre, leaving $\mathbf{-0.000000608}$ ns a day. Against the kinematic term that residue is $\mathbf{5.843942}$ times 10 to the minus 9(Section 2).

Second, this is not merely a statement about the equator and the pole、across seven points from geocentric latitude 0 to 90 degrees the combined attraction-plus-centrifugal potential spans $\mathbf{0.001164}$ m²/s². In clock rate that is $\mathbf{1.294748}$ times 10 to the minus 20, or $\mathbf{0.000001119}$ ns a day. The mean of the seven differs from the normal potential published for WGS84 by $\mathbf{0.000158}$ m²/s², which is $\mathbf{0.000016}$ m of height(Section 3).

Third, they cancel because the Earth has taken the shape its own rotation calls for、dropping the flattening terms and using a bare GM/r raises the gravitational term to $\mathbf{1.943779}$ times the kinematic one, and widens the spread across the seven points by a factor $\mathbf{87721933.546989}$. That the sea surface is an equipotential and that clocks agree on it are one and the same fact(Section 2 and Section 3).

Fourth, that shape is fixed by the ratio of centrifugal to gravitational pull、the ratio m is $\mathbf{3.461391899}$ times 10 to the minus 3, and Clairaut’s first-order relation f＝1.5·J2＋0.5·m returns $\mathbf{0.003354641}$ against the actual flattening $\mathbf{0.003352811}$, a ratio of $\mathbf{1.000545816}$. Dropping the centrifugal term leaves a ratio of $\mathbf{0.484353}$, which does not fit at all(Section 4).

Fifth, a clock is therefore a ruler for height、one metre of height is $\mathbf{1.091137}$ times 10 to the minus 16 in rate, or $\mathbf{0.009427423}$ ns a day; 450 m gives $\mathbf{4.242341}$ ns a day and the height of Everest $\mathbf{83.421950}$ ns. Read the other way, a clock good to 10 to the minus 18 resolves $\mathbf{0.009165}$ m of height(Section 5).

Sixth, the separator is whether the two points share a potential surface or a geocentric distance、put the equator and geocentric latitude 45 degrees at the same distance from the centre and the clocks differ by $\mathbf{100.881579}$ ns a day. The cancellation holds only between points on the sea surface; take "same height" in the other sense and those hundred nanoseconds come back(Section 6).

Keywords: geoid, equipotential surface, time dilation, gravitational redshift, flattening of the Earth, relativistic geodesy

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/1038/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1038 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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