YOI 1044：重力レンズで光は集まるのに、その光の幾何の曲率は負である

論文1044 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1044 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22861082）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi1044,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Light Is Gathered by a Gravitational Lens, Yet the Curvature of the Geometry It Travels In Is Negative},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1044},
  doi = {10.5281/zenodo.22861082},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969451・969456・969461・969490 に記録されました（2026年10月01日 23:00（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

重力で光は曲がり、レンズのように集まる。ところが、その光が進む幾何そのものの曲率を測ると、負である。本稿はその食い違いを、積む領域の違いとして数える。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、これが本稿の芯である。光の幾何は負に曲がっている。静的な重力場の中の光は、屈折率 1+2m/r（m は質量を長さに直した値）の媒質と同じ幾何（光学計量）の中を進む。そのガウス曲率は、m＝0.05・点 (1, 0.3) で差分 $\mathbf{-0.060948481913}$・式 $\mathbf{-0.060948441945}$ と一致し、どの点でも負である（第2節）。

第二に、それでも光は内へ曲がる。曲がりの角はガウス＝ボネの定理で、光の道の「外側」の領域に曲率を積んだ値になる。m/b＝10 の −3 乗で、光線を追って出した角 $\mathbf{4.011823809924}$×10 の −3 乗と、外側の曲率を積んだ角 $\mathbf{4.000000000000}$×10 の −3 乗が、4m/b と 1 パーセント以内で一致した（第3節）。

第三に、ずれは m の一次で消える。4m/b からのずれは、m を 10 分の 1 にすると $\mathbf{10.032726651}$ 分の 1 になった。弱い場でだけ成り立つ話であることが、この比で見える（第3節）。

第四に、太陽では 1.75 秒角になる。太陽の縁をかすめる光で、光線を追うと $\mathbf{1.751201387}$ 秒角、4m/b では $\mathbf{1.751190439}$ 秒角であった。ニュートン流の見積もりはちょうど半分の $\mathbf{0.875595220}$ 秒角である（第4節）。

第五に、曲率の寄与は近いところに集まるが、尾を引く。最接近の 5 倍の距離までで全体の $\mathbf{0.705908430}$、20 倍までで $\mathbf{0.922710482}$、100 倍までで $\mathbf{0.984342001}$ である（第3節）。

第六に、分離子は、積む領域が道の内側か外側かである。外側で積めば切らずに収束して 4m/b になるが、内側で積むと発散する。切る半径を 0.5 から 0.05 に下げると、値は外側の $\mathbf{2.141593}$ 倍から $\mathbf{30.415927}$ 倍へ増え続けた（第5節）。

キーワード：重力レンズ、光学計量、ガウス＝ボネの定理、ガウス曲率、フェルマーの原理、光の曲がり

Abstract

Gravity bends light and gathers it as a lens does.Yet measure the curvature of the very geometry that light travels in, and it is negative.This paper counts that discrepancy as a difference in the region of integration.No new theorem and no new law is claimed.

First, and this is the core. The geometry of light is negatively curved、in a static gravitational field, light travels as in a medium of refractive index 1+2m/r (m being the mass written as a length), and in that geometry, the optical metric, the Gaussian curvature is $\mathbf{-0.060948481913}$ by finite differences against $\mathbf{-0.060948441945}$ from the closed form at m＝0.05 and the point (1, 0.3). It is negative everywhere(Section 2).

Second, and still the light bends inward、by the Gauss-Bonnet theorem the deflection is the curvature integrated over the region outside the ray. At m/b＝10 to the minus 3, tracing the ray gives $\mathbf{4.011823809924}$ times 10 to the minus 3 and the outside integral $\mathbf{4.000000000000}$ times 10 to the minus 3, both within one percent of 4m/b(Section 3).

Third, the departure vanishes at first order in m、dividing m by ten divides the departure from 4m/b by $\mathbf{10.032726651}$. That ratio shows this is a statement about weak fields(Section 3).

Fourth, for the Sun it is 1.75 arcseconds、for light grazing the limb, tracing the ray gives $\mathbf{1.751201387}$ arcseconds against $\mathbf{1.751190439}$ from 4m/b. The Newtonian estimate is exactly half, $\mathbf{0.875595220}$ arcseconds(Section 4).

Fifth, the curvature contributes mostly nearby, but with a tail、out to five times the closest approach lies $\mathbf{0.705908430}$ of the whole, out to twenty times $\mathbf{0.922710482}$, and out to a hundred times $\mathbf{0.984342001}$(Section 3).

Sixth, the separator is whether the region lies inside or outside the ray、outside, the integral converges without a cutoff and gives 4m/b; inside, it diverges. Lowering the cutoff radius from 0.5 to 0.05 raises the value from $\mathbf{2.141593}$ to $\mathbf{30.415927}$ times the outside one(Section 5).

Keywords: gravitational lensing, optical metric, Gauss-Bonnet theorem, Gaussian curvature, Fermat's principle, bending of light

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/1044/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1044 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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