YOI 1045：マクスウェルの魚眼で光が円を描くのは、屈折率が球面の地図の縮尺だからである

論文1045 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1045 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22861142）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi1045,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Light Travels in Circles in Maxwell's Fish-Eye Because the Index Is the Scale Factor of a Map of the Sphere},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1045},
  doi = {10.5281/zenodo.22861142},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969451・969456・969461・969490 に記録されました（2026年10月01日 23:00（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

マクスウェルの魚眼は、屈折率が 2/(1+r²) の媒質である。その中で光は円を描き、一点から出た光はどの向きに出しても一点に集まる。本稿はそれを、球面の地図として数える。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、これが本稿の芯である。屈折率は地図の縮尺そのものである。半径 1 の球面を北極から平面へ写す立体射影で、球面の極角と平面の半径は r＝tan(θ/2) で対応し、そこでの地図の縮尺は 2/(1+r²) に等しい。極角 60 度で屈折率 $\mathbf{1.500000000}$、120 度で $\mathbf{0.500000000}$、150 度で $\mathbf{0.133974596}$ と、縮尺 2cos²(θ/2) に全桁で一致した（第3節）。

第二に、この幾何の曲率はどこでも +1 である。光学計量のガウス曲率を差分で出すと、点 (0.3, 0.4) で $\mathbf{1.000000022}$、(1.0, 0.0) で $\mathbf{1.000000000}$、(1.5, −0.7) で $\mathbf{0.999999808}$、(3.0, 2.0) で $\mathbf{1.000006566}$ であった。比べ役に重力レンズの屈折率を入れると $\mathbf{-0.060948482}$ と負になる（第2節）。

第三に、平面ぜんぶで球面ひとつぶんである。平面全体の光学的な面積は $\mathbf{12.566370614}$ で、球面の 4π と全桁で一致した。半径 1 の内側と外側の寄与はどちらも $\mathbf{1.000000000000}$ で等しく、赤道で分けた二つの半球にあたる（第3節）。

第四に、光は円を描き、光路長 π で対蹠点に集まる。出発点 (0.5, 0) から五つの向きに出した光は、どれも円を描き（半径 $\mathbf{2.500000000}$・$\mathbf{1.443375673}$・$\mathbf{1.250000000}$、円からのずれは最大 $\mathbf{7.998}$×10 の −12 乗）、光路長 π でちょうど像の点 (−2.0, 0) に集まった（ずれは最大 $\mathbf{6.868}$×10 の −12 乗）（第4節）。

第五に、光路長 2π で出発点に戻る。同じ光を 2π まで進めると、五つの向きとも出発点に戻った（ずれは最大 $\mathbf{1.717}$×10 の −12 乗）。球面では大円を一周したことにあたる（第4節）。

第六に、分離子は、屈折率が曲率を正にするか負にするかである。同じ光学計量の枠で、曲率が負なら道は開いて外側に積んだ曲率が曲がりの角になり、正なら道は閉じて対蹠点に像を結ぶ。分けているのは屈折率の分布ひとつである（第5節）。

キーワード：マクスウェルの魚眼、立体射影、光学計量、ガウス曲率、完全結像、幾何光学

Abstract

Maxwell’s fish-eye is a medium of refractive index 2/(1+r²).Light travels in circles inside it, and rays leaving one point in every direction meet again at a single point.This paper counts that as a map of the sphere.No new theorem and no new law is claimed.

First, and this is the core. The index is the scale factor of the map、under the stereographic projection of the unit sphere from the north pole, polar angle and planar radius correspond by r＝tan(θ/2), and the scale factor of the map there equals 2/(1+r²). At 60 degrees the index is $\mathbf{1.500000000}$, at 120 degrees $\mathbf{0.500000000}$, at 150 degrees $\mathbf{0.133974596}$, agreeing with 2cos²(θ/2) to every digit(Section 3).

Second, the curvature of this geometry is +1 everywhere、the Gaussian curvature of the optical metric, by finite differences, is $\mathbf{1.000000022}$ at (0.3, 0.4), $\mathbf{1.000000000}$ at (1.0, 0.0), $\mathbf{0.999999808}$ at (1.5, −0.7) and $\mathbf{1.000006566}$ at (3.0, 2.0). With the index of a gravitational lens instead, it is $\mathbf{-0.060948482}$, negative(Section 2).

Third, the whole plane amounts to one sphere、the optical area of the whole plane is $\mathbf{12.566370614}$, matching 4π on the sphere to every digit. The contribution inside radius 1 and the contribution outside are both $\mathbf{1.000000000000}$, the two hemispheres split at the equator(Section 3).

Fourth, light travels in circles and meets at the antipode after a path length of π、rays leaving (0.5, 0) in five directions all traced circles (radii $\mathbf{2.500000000}$, $\mathbf{1.443375673}$ and $\mathbf{1.250000000}$, departing from a circle by at most $\mathbf{7.998}$×10 to the minus 12) and arrived at the image point (−2.0, 0) after a path length of π, off by at most $\mathbf{6.868}$×10 to the minus 12(Section 4).

Fifth, a path length of 2π returns to the start、carried on to 2π, all five rays came back to the starting point, off by at most $\mathbf{1.717}$×10 to the minus 12. On the sphere this is one turn around a great circle(Section 4).

Sixth, the separator is whether the index makes the curvature positive or negative、within one and the same optical metric, a negative curvature leaves the paths open and the deflection comes from curvature integrated outside them, while a positive one closes the paths and forms an image at the antipode. What separates the two is the distribution of the index alone(Section 5).

Keywords: Maxwell's fish-eye, stereographic projection, optical metric, Gaussian curvature, perfect imaging, geometrical optics

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/1045/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1045 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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