YOI 1051：境界から内部が決まるかは、何を何個測るかで決まる

論文1051 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1051 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22903544）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi1051,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Whether the Boundary Determines the Interior Depends on What Is Measured and How Much},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1051},
  doi = {10.5281/zenodo.22903544},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969451・969456・969461・969490 に記録されました（2026年10月01日 23:00（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

境界のデータから内部を読む問いは、体系にいくつも現れてきた。散乱、境界値、スペクトル、どれも「少ない情報が構造を決める」に見える。本稿が問うのは、どれだけ測れば足りるのかである。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、これが本稿の芯である。足りるかどうかは個数で書ける。大きさ 6 の三重対角行列の未知数は対角 6 と副対角 5 で 11 個だが、固有値は 6 個しかない。5 個足りない（第2節）。

第二に、足りないことは、実際に別のものを作って確かめられる。固有値をそのままに、固有ベクトルの端の値だけを替えると、固有値の差が $\mathbf{1.554}$×10⁻¹⁵ のまま、行列そのものは最大 $\mathbf{2.238686}$ 違う別物になる（第2節）。

第三に、規格化定数を足すと、ちょうど足りる。固有値 6 個に端の値の二乗 6 個を足すと、和が 1 という制約で独立なのは 11 個になり、未知数と同じ数になる。実際に組み立て直すと元の行列が差 $\mathbf{6.883}$×10⁻¹⁵ で戻る（第3節）。

第四に、同じ音の別の形は、聴く作用素を替えると見分けられる。四角形と孤立点の組と、星形は、隣接行列のスペクトルが同じである（差 $\mathbf{6.939}$×10⁻¹⁸）。ところがラプラシアンで聴くと、スペクトルは最大 $\mathbf{1.000000}$ 違う（第4節）。

第五に、境界は、内部に節点があるかどうかを見分けない。伝導率 1・2・3 の星形と、そこから出る三角形 0.333333・0.500000・1.000000 は、境界から見た応答が差 $\mathbf{2.220}$×10⁻¹⁶ で一致する。形を決めれば伝導率は一意に戻る（差 $\mathbf{4.441}$×10⁻¹⁶）ので、決まらないのは値ではなく形である（第5節）。

第六に、三つの場は一つの表に並ぶ、未知数とデータの個数を並べると、足りない・ちょうど・余るの三通りに分かれる。分離子は、境界で何を何種類測るかである（第6節）。

キーワード：逆問題、一意性、スペクトル、三重対角行列、境界値問題、抵抗網

Abstract

Reading the interior from data on the boundary has appeared many times in this body of work.Scattering, boundary values, spectra: all look like “a little information fixes a structure”.This paper asks how much must be measured for it to suffice.No new theorem and no new law is claimed.

First, and this is the core. Whether it suffices can be written as a count、a tridiagonal matrix of size 6 has 6 diagonal and 5 off-diagonal unknowns, eleven in all, while there are only 6 eigenvalues. It falls 5 short（Section 2）。

Second, the shortfall can be confirmed by actually building a different object、keeping the eigenvalues and changing only the end values of the eigenvectors gives a matrix whose eigenvalues differ by $\mathbf{1.554}$×10⁻¹⁵ while the matrix itself differs by as much as $\mathbf{2.238686}$（Section 2）。

Third, adding the norming constants makes it exactly enough、six eigenvalues plus six squared end values, of which the constraint that they sum to one leaves eleven independent, matches the number of unknowns. Rebuilding returns the original matrix to $\mathbf{6.883}$×10⁻¹⁵（Section 3）。

Fourth, two shapes with the same sound are told apart by changing the operator、a square with an isolated point and a star have adjacency spectra agreeing to $\mathbf{6.939}$×10⁻¹⁸, yet heard through the Laplacian their spectra differ by as much as $\mathbf{1.000000}$（Section 4）。

Fifth, the boundary cannot tell whether there is an interior node、a star with conductances 1, 2 and 3 and the triangle 0.333333, 0.500000, 1.000000 that it reduces to have boundary responses agreeing to $\mathbf{2.220}$×10⁻¹⁶. Fix the shape and the conductances return to $\mathbf{4.441}$×10⁻¹⁶, so what is undetermined is not the values but the shape（Section 5）。

Sixth, the three settings line up in one table、placing unknowns against data splits them into short, exact and surplus. The separator is what and how much is measured at the boundary（Section 6）。

Keywords: inverse problems, uniqueness, spectrum, tridiagonal matrices, boundary value problems, resistor networks

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/1051/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1051 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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