YOI 1064：同じ計量の上で、曲率を消す道と捩率を消す道が選べる

論文1064 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1064 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22938897）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi1064,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {On One and the Same Metric, One May Choose to Annihilate the Curvature or the Torsion},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1064},
  doi = {10.5281/zenodo.22938897},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969451・969456・969461・969490 に記録されました（2026年10月01日 23:00（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

曲がった空間を測るには、各点に目盛りを置く。四次元なら目盛りは十六の成分を持つが、計量は十だけで書ける。残る六つはどこへ行くのか、そして目盛りを与えたあと「まっすぐ」はどう決まるのかを、本稿は数で追う。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、目盛りのうち計量に届く数は、対称な行列の成分数である。目盛りから計量への写像の階数を実際に数えると、次元 2・3・4・5 で 3・6・10・15 であり、届かない数は 1・3・6・10 である。

第二に、その届かない六つは、計量を保つ回転の自由である。計量を保つ変換の自由度を独立に数えると 6 で、その六つの向きに目盛りを回しても計量の動きは最大 $\mathbf{2.442}$×10⁻¹⁵ にとどまる。対照に一般の変換を当てると $\mathbf{2.905316751}$ 動く。

第三に、これが本稿の芯である。同じ一つの目盛りから、二つの接続が作れる。半径 1 の球面で、捩率を消す道は捩率が式として恒等的に 0 で曲率の最大が $\mathbf{1.000000000000}$、曲率を消す道は曲率が式として恒等的に 0 で捩率の最大が $\mathbf{0.642092615934}$ である。

第四に、二つとも計量を保つ、どちらも計量の共変微分が式として恒等的に 0 であり、対照に一成分だけずらした接続を当てると $\mathbf{0.666666666667}$ になる。

第五に、途中で混ぜると、どちらも消えない。混ぜ方を 0 から 1 まで動かすと捩率は 0 から $\mathbf{0.642092615934}$ へ、曲率は $\mathbf{1.000000000000}$ から 0 へ一次に動き、中央では $\mathbf{0.321046307967}$ と $\mathbf{0.500000000000}$ である。

第六に、四次元でも同じ入れ替わりが起きる。重い天体のまわりの計量で、捩率を消す道は曲率の最大が $\mathbf{0.333333333333}$、曲率を消す道は捩率の最大が $\mathbf{0.642092615934}$ であり、二つとも計量を保つ。

正直に書く。どちらを採るべきかは決めない。捩率を持つ重力の理論を作らず、それが標準の理論と等価かどうかにも立ち入らない。

キーワード：四脚場、局所ローレンツ変換、接続、捩率、曲率、計量両立、分離子

Abstract

To measure a curved space one places a frame at each point.In four dimensions that frame has sixteen components, yet the metric is written with ten.Where the remaining six go, and how "straight" is fixed once a frame is given, are followed here with numbers.No new theorem and no new physical law is claimed.

First, the number of frame components that reach the metric is the number of components of a symmetric matrix、taking the rank of the map from frame to metric gives 3, 6, 10 and 15 in dimensions 2, 3, 4 and 5, leaving 1, 3, 6 and 10 that do not reach it.

Second, those six that do not reach it are the freedom to rotate the frame、counting independently the dimension of the transformations that preserve the metric gives 6, and rotating the frame along those six directions moves the metric by at most $\mathbf{2.442}$×10⁻¹⁵, whereas a general transformation moves it by $\mathbf{2.905316751}$.

Third, and this is the core. From one and the same frame, two connections can be built、on the unit sphere the torsion-free route has torsion identically zero as an expression and curvature at most $\mathbf{1.000000000000}$, while the curvature-free route has curvature identically zero and torsion at most $\mathbf{0.642092615934}$.

Fourth, both preserve the metric、for both, the covariant derivative of the metric vanishes identically as an expression, while a connection with one component displaced gives $\mathbf{0.666666666667}$.

Fifth, mixing the two leaves neither at zero、turning the mixing parameter from 0 to 1 moves the torsion linearly from 0 to $\mathbf{0.642092615934}$ and the curvature from $\mathbf{1.000000000000}$ to 0, giving $\mathbf{0.321046307967}$ and $\mathbf{0.500000000000}$ at the midpoint.

Sixth, the same exchange occurs in four dimensions、for the metric around a heavy body the torsion-free route has curvature at most $\mathbf{0.333333333333}$ and the curvature-free route has torsion at most $\mathbf{0.642092615934}$, and both preserve the metric.

Stated plainly、which one ought to be taken is not decided. No theory of gravity with torsion is built, and whether such a theory agrees with the standard one is left outside.

Keywords: tetrad, local Lorentz transformation, connection, torsion, curvature, metric compatibility, separator

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/1064/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1064 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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