YOI 1070：体積を保つことと潰せないことは、四次元から別々になる

論文1070 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1070 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22944894）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi1070,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Preserving Volume and Being Unsqueezable Part Company from Four Dimensions On},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1070},
  doi = {10.5281/zenodo.22944894},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969451・969456・969461・969490 に記録されました（2026年10月01日 23:00（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

位置と運動量を並べた空間では、流れが体積を保つことが古くから知られている。だが「体積が保たれる」ことと「潰せない」ことは、同じではない。本稿はその二つが別れる場所を数で示す。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、これが本稿の芯である。二次元でだけ、二つは同じものになる。正準な写像の自由度と体積を保つ写像の自由度の差は 0・5・14・27・44 で、0 になるのは共役な組が一つのときだけである。

第二に、でたらめに作って確かめても同じである。行列式がちょうど 1 の写像を 2000 個ずつ作ると、二次元では正準からの外れが最大でも $\mathbf{2.642}$×10⁻¹⁴ だが、四次元では最小でも $\mathbf{2.158}$×10⁻¹、六次元では $\mathbf{7.549}$×10⁻¹ ある。

第三に、体積を保つだけの写像は断面をいくらでも潰せる。四次元で倍率を 1000 にすると、行列式は $\mathbf{1.000000000000}$ のままで影の半径は $\mathbf{0.001000000000}$ になる。

第四に、正準な写像は断面を潰せない。でたらめに作った 20000 個のうち、影の半径が 1 を下回ったものは 0 個で、最小は $\mathbf{1.000000000000}$、最大は $\mathbf{1.684915}$×10⁴ であった。

第五に、その下限は一行で出る。影を作る二行に対する反対称形の値はどの正準写像でもちょうど 1 で（実測 $\mathbf{0.999999999996}$ から $\mathbf{1.000000000003}$）、二行の長さの積はそれを下回れない。

第六に、同じ体積でも潰せなさは違う。楕円体の径数を動かすと体積の比は $\mathbf{1.000000000000}$ のままで、容量の比は $\mathbf{0.500000000000}$・$\mathbf{0.200000000000}$・$\mathbf{0.100000000000}$ と下がる。

正直に書く。定理を証明しない。測るのは線形写像の集まりだけで、曲がった写像にも回帰時間にも立ち入らない。

キーワード：位相空間、体積の保存、正準な写像、断面の面積、特異値、群の自由度、分離子

Abstract

On the space in which positions and momenta are listed side by side, it has long been known that the flow preserves volume.But "the volume is preserved" and "it cannot be squeezed" are not the same statement.This paper shows numerically where the two part company.No new theorem or law is claimed.

First, and this is the core. Only in two dimensions do the two coincide、the difference between the degrees of freedom of the canonical maps and of the volume-preserving maps runs 0, 5, 14, 27, 44, and it vanishes only when there is a single conjugate pair.

Second, building them at random gives the same answer、taking 2000 maps of determinant exactly one in each dimension, the departure from canonical is at most $\mathbf{2.642}$×10⁻¹⁴ in two dimensions, but at least $\mathbf{2.158}$×10⁻¹ in four and $\mathbf{7.549}$×10⁻¹ in six.

Third, a merely volume-preserving map can squeeze a cross-section without limit、in four dimensions with a factor of 1000 the determinant stays at $\mathbf{1.000000000000}$ while the radius of the shadow becomes $\mathbf{0.001000000000}$.

Fourth, a canonical map cannot squeeze it、of 20000 built at random, none had a shadow radius below one; the smallest was $\mathbf{1.000000000000}$ and the largest $\mathbf{1.684915}$×10⁴.

Fifth, the bound follows in one line、the value of the antisymmetric form on the two rows that build the shadow is exactly one for every canonical map (measured between $\mathbf{0.999999999996}$ and $\mathbf{1.000000000003}$), and the product of the two row lengths cannot fall below it.

Sixth, equal volume does not mean equal unsqueezability、varying the parameter of an ellipsoid leaves the volume ratio at $\mathbf{1.000000000000}$ while the capacity ratio falls through $\mathbf{0.500000000000}$ and $\mathbf{0.200000000000}$ to $\mathbf{0.100000000000}$.

Stated plainly、no theorem is proved. Only families of linear maps are measured, and neither nonlinear maps nor recurrence times are entered.

Keywords: phase space, volume preservation, canonical map, cross-sectional area, singular value, dimension of a group, separator

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/1070/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1070 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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