Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文154 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/154 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22084647）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文154】順序を書かない極限は、量ではない

@misc{yamagishi2026yoi154,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {A Limit Without Its Order Is Not a Quantity},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/154},
  doi = {10.5281/zenodo.22084647},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969397・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 14:20（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

論文113 は「モジュールは壁ではなく極限である」と書き、論文03 は $\nu\to0$ を特異極限と呼んで「収縮しない境界」を枠に加えた。本稿はその「特異」に住所を与える。二つの極限が交換しないということである。新しい数学定理も新しい物理法則も主張しない。

第一に、最小の例。$a(n,m)=n/(n+m)$ は $\lim_n\lim_m=0$、$\lim_m\lim_n=1$ である（第2節）。

第二に、最小の圏論的な例。$2\times2$ の一元集合の族で、先に和を取ってから交われば $\{a,b\}$、先に交わってから和を取れば空集合になる。和は余極限、交わりは極限であり、二つは交換しない（第3節）。

第三に、族が有向なら交換する。増大列どうしでは両者が一致する（本稿で確認）。分離子は「極限か余極限か」ではなく、添字が有向かどうかである（第4節）。

第四に、これが本稿の芯である。キュリー＝ワイス磁石を有限 $N$ で厳密に（二項和と対数総和指数で）計算すると、$\beta J=2$ においてどの $N$ でも $h=0$ の磁化はぴたり $0$である。ところが $h>0$ を固定して $N$ を上げると値は $m^*=0.957504$ に登り、$N=10^4$、$h=10^{-3}$ で0.957581 に達する。すなわち $0$ と $0.957504$、「相転移は熱力学極限でだけ起きる」とは、この二つの極限が交換しないという言明にほかならない（第5節）。

第五に、左右は鏡像ではない。$\mathrm{Ab}$ において余極限は完全だが逆極限は完全でない。$p$ 進整数は連続体濃度をもち整数は可算だから $\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}_p$ は全射でなく、その欠損が $\varprojlim^1$ である（第6節）。

Abstract

Paper 113 wrote that a module is not a wall but a limit, and Paper 03 called $\nu\to0$ a singular limit, adding a boundary that does not contract to that frame. This paper gives that word “singular” an address: two limits that do not commute. NO NEW MATHEMATICAL THEOREM AND NO NEW PHYSICAL LAW IS CLAIMED.

First, the smallest example. For $a(n,m)=n/(n+m)$, $\lim_n\lim_m=0$ and $\lim_m\lim_n=1$ (Section 2).

Second, the smallest categorical example. For a two-by-two family of one-element sets, taking unions first and then intersecting gives $\{a,b\}$, while intersecting first and then taking unions gives the empty set. A union is a colimit and an intersection is a limit, and the two do not commute (Section 3).

Third, if the family is directed they do commute. For increasing chains the two agree (checked here). The separator is not “limit or colimit” but whether the index is directed (Section 4).

Fourth, and this is the core. Computing the Curie–Weiss magnet exactly at finite $N$ (a binomial sum with log-sum-exp), at $\beta J=2$ the magnetisation at $h=0$ is exactly $0$ for every $N$. Yet fixing $h>0$ and raising $N$ drives the value up towards $m^*=0.957504$, reaching 0.957581 at $N=10^4$, $h=10^{-3}$. So $0$ against $0.957504$、“a phase transition happens only in the thermodynamic limit” just is the statement that these two limits fail to commute (Section 5).

Fifth, the two sides are not mirror images. In $\mathrm{Ab}$ colimits are exact while inverse limits are not. The $p$-adic integers have the cardinality of the continuum and the integers are countable, so $\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}_p$ is not onto, and that defect is $\varprojlim^1$ (Section 6).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年8月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/154/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/154 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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