Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文249 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/249 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22160409）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文249】拡散が捕らえる 4π は、場が広がる 4π と同じ根である

@misc{yamagishi2026yoi249,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The Four Pi That Catches Molecules Is the Four Pi That Spreads a Field},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/249},
  doi = {10.5281/zenodo.22160409},
  note = {Preprint, edition 2}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969397・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 14:20（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

生物の話に $4\pi$ が出てきたとき、それは数字の一致なのか、同じ根なのか。本稿が扱うのは一つだけである。細胞が分子を捕らえる速さに現れる $4\pi$ は、ガウスの法則の $4\pi$ と同じ立体角である。類推ではなく、同じ方程式だからである。新しい数学定理も新しい法則も主張しない。

第一に、どの半径で測っても流束は変わらない。$r/a$ を $1.5$ から $1000$ まで動かして $\mathbf{12.566370614359}$、六つの値の散らばりは $\mathbf{3.55\times 10^{-15}}$ であった（第3節）。

第二に、式を入れずに数値で解いても同じ値が出る。外側の境界を $R/a=400$ に置くと $12.597865194$ となり、ずれは方法ではなく境界から来る。比は $\mathbf{1.002506259}$ で、$R/(R-a)=1.002506266$ と $6.7\times 10^{-9}$ まで一致した（第4節）。

第三に、これが本稿の芯である。捕獲率は表面積ではなく、半径に比例する。半径を $10$ 倍にすると表面積は $100$ 倍になるのに、捕獲は $10$ 倍にしかならない。単位面積あたりの捕獲は $10$ から $\mathbf{0.1}$ へ落ちる（第5節）。

第四に、二次元では定常の吸収が存在しない。流束は $1/\log(R/a)$ で落ち、$R/a=10^{100}$ でも $\mathbf{0.004342945}$ しか残らない（第6節）。

第五に、表面はほとんど空けたままでよい。半径比 $10^{-3}$ の受容体なら、$\mathbf{3142}$ 個で完全吸収体の半分の速さが出る。そのとき覆われているのは表面の $\mathbf{0.0785}$ パーセントである（第7節）。

第六に、この近くに出る $\pi$ は三種類である。立体角のもの、単位系の規約のもの、そして $4\pi$ ですらないもの（第8節）。

Abstract

When $4\pi$ turns up in a biological setting, is it a coincidence of numbers or the same root?This paper treats exactly one case: the $4\pi$ in the rate at which a cell captures molecules is the same solid angle as in Gauss’s law.Not by analogy, but because it is the same equation.No new mathematical theorem and no new law is claimed.

First, the flux is the same through every enclosing sphere.Moving $r/a$ from $1.5$ to $1000$ gives $\mathbf{12.566370614359}$ throughout, the six values spreading by $\mathbf{3.55\times 10^{-15}}$(Section 3).

Second, solving numerically without inserting the formula gives the same value.With the outer boundary at $R/a=400$ the result is $12.597865194$, and the gap comes from the boundary and not from the method: the ratio is $\mathbf{1.002506259}$, agreeing with $R/(R-a)=1.002506266$ to $6.7\times 10^{-9}$(Section 4).

Third, this is the core.Capture is proportional to the radius and not to the area.Ten times the radius gives a hundred times the surface and only ten times the catch: capture per unit area falls from $10$ to $\mathbf{0.1}$(Section 5).

Fourth, in two dimensions no steady absorber exists.The flux falls as one over the logarithm of $R/a$, and even at $R/a=10^{100}$ only $\mathbf{0.004342945}$ remains(Section 6).

Fifth, the surface may be left almost bare.With receptors of relative radius $10^{-3}$, $\mathbf{3142}$ of them reach half the rate of a perfect absorber: covering $\mathbf{0.0785}$ percent of the surface(Section 7).

Sixth, three kinds of $\pi$ appear in this neighbourhood: a solid angle, a convention of units, and one that is not $4\pi$ at all(Section 8).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第2版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/249/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/249 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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