Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文260 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/260 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22169292）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文260】同値性は定理であり、テーゼは定理ではない

@misc{yamagishi2026yoi260,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The Equivalence Is a Theorem and the Thesis Is Not},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/260},
  doi = {10.5281/zenodo.22169292},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969397・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 14:20（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

「計算できる」という語には、二つの身分の違う主張がぶら下がっている。本稿が問うのは、そのどちらが証明されたのかである。答は、片方だけである。三つの形式的定義が同じクラスを指すことは定理であり、そのクラスが「計算できるもの全部」だというテーゼは定理ではない。新しい数学定理も新しい法則も主張しない。

第一に、出発点を数える。$1934$–$1936$ 年に、動く機械・式の書き換え・再帰という三つの無関係な出発点が置かれた。三つの間の対の同値性は $\mathbf{3}$ 本である（第2節）。

第二に、これが本稿の芯である。その $3$ 本はすべて証明されている。形式的定義どうしの比較なので、証明の対象になる（第3節）。

第三に、テーゼのほうは対象にならない。片側が非形式的な「計算できる」である以上、等式として書けない。証明できないのではなく、証明という手続きの外にある（第4節）。

第四に、それでも反証可能ではある。誰もが計算だと認める手続きで、このクラスの外の関数を一つ出せば倒れる。$90$ 年出ていないが、出ない保証は無い（第5節）。

第五に、クラスの内側にも階層がある。アッカーマン関数は原始帰納的でないのに計算可能で、$A(4,2)=2^{65536}-3$ は$\mathbf{19729}$ 桁である（第6節）。

第六に、その階層は数で見える。$A(4,0)=13$ から $A(4,1)=65533$ へ $\mathbf{5041}$ 倍、そこから $A(4,2)$ へは桁数が $5$ から $19729$ へ跳ぶ（第6節）。

Abstract

Two claims of different standing hang from the phrase “can be computed”.This paper asks which of them has been proved、the answer is one of them only.That three formal definitions pick out the same class is a theorem; that this class is everything computable is a thesis and not a theorem.No new mathematical theorem and no new law is claimed.

First, the starting points are counted.Between $1934$ and $1936$, three unrelated starting points were laid down: a machine that moves, the rewriting of expressions, and recursion、the pairwise equivalences among three number $\mathbf{3}$(Section 2).

Second, this is the core of the paper.Those $3$ have all been proved、being comparisons between formal definitions, they can be the object of a proof(Section 3).

Third, the thesis cannot be.With an informal “can be computed” on one side, it cannot be written as an equation、it is not that the proof is missing, but that it lies outside the procedure called proof(Section 4).

Fourth, it is nonetheless refutable.Exhibit one function outside the class, computed by a procedure everybody grants is computation, and it falls、none has appeared in $90$ years, but there is no guarantee that none will(Section 5).

Fifth, there are levels inside the class as well.The Ackermann function is computable while not primitive recursive, and $A(4,2)=2^{65536}-3$ has $\mathbf{19729}$ digits(Section 6).

Sixth, those levels are visible in numbers.From $A(4,0)=13$ to $A(4,1)=65533$ is a factor of $\mathbf{5041}$, and from there to $A(4,2)$ the digit count leaps from $5$ to $19729$(Section 6).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年8月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/260/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/260 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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