Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文294 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/294 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22171603）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文294】分離は、長さの平方根でしか良くならない

@misc{yamagishi2026yoi294,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Separation Improves Only as the Square Root of the Length},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/294},
  doi = {10.5281/zenodo.22171603},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969397・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 14:20（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

クロマトグラフィの分離度は $R_s\propto\sqrt{N}\propto\sqrt{L}$ である。本稿が問うのは、この平方根がどこから来ているかである。答は、分散の加法性である。新しい数学定理も新しい法則も主張しない。

第一に、代償は求める改善の二乗である。$R_s$ を $2$ 倍にするには段数 $\mathbf{4}$ 倍、カラム長 $4$ 倍、時間 $4$ 倍（第2節）。

第二に、これが本稿の芯である。同じ平方根がクロマトグラフィ・拡散・統計の三つの場所に立ち、根は同じ一つである（第3節）。

第三に、数で確かめる。独立な $n$ 個を足すと分散が $n$ 倍、標準偏差は $\sqrt{n}$ 倍、$n$ を $4$ 倍で標準誤差はちょうど半分（第3節）。

第四に、長さより選択性のほうが安い。$\alpha$ を $1.05$ から $1.10$ にすると、必要段数が $\mathbf{3.64}$ 分の一になる（第4節）。

第五に、最適流速がある。ファン・デームター式の最小段高は $u=\sqrt{B/C}=\mathbf{1.4142}$ mm/s で $H=\mathbf{20.97}$ $\mu$m（第5節）。

第六に、分離子は「何が独立に足されるか」である。足されるのが分散なら平方根、期待値なら一次である（第6節）。

Abstract

Chromatographic resolution goes as $R_s\propto\sqrt{N}\propto\sqrt{L}$.This paper asks where that square root comes from、the answer is the additivity of variance.No new mathematical theorem and no new law is claimed.

First, the price is the square of the improvement sought.Doubling $R_s$ takes $\mathbf{4}$ times the plates, $4$ times the column length, and $4$ times the time (Section 2).

Second, this is the core of the paper.The same square root stands in three places（chromatography, diffusion, statistics）and the root is one and the same (Section 3).

Third, we confirm it numerically.Summing $n$ independent contributions multiplies the variance by $n$ and the standard deviation by $\sqrt{n}$、four times $n$ halves the standard error exactly (Section 3).

Fourth, selectivity is cheaper than length.Raising $\alpha$ from $1.05$ to $1.10$ cuts the plates required to one $\mathbf{3.64}$th (Section 4).

Fifth, there is an optimal flow rate.The van Deemter minimum sits at $u=\sqrt{B/C}=\mathbf{1.4142}$ mm/s with $H=\mathbf{20.97}$ $\mu$m (Section 5).

Sixth, the separator is what is added independently.If variances are added, a square root; if expectations, first order (Section 6).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年8月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/294/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/294 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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