YOI 520：消せる周波数がいくつあるかは、係数の個数が決めている

論文520 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/520 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22862501）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文520】消せる周波数がいくつあるかは、係数の個数が決めている

@misc{yamagishi2026yoi520,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {How Many Frequencies Can Be Nulled Is Fixed by the Number of Coefficients},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/520},
  doi = {10.5281/zenodo.22862501},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969428・969440・969461 に記録されました（2026年10月01日 17:42（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

「この周波数を消したい」という要求は、いくつまでなら叶うのか。本稿が示すのは、その上限が係数の個数から決まり、足りなければ一つだけ諦めるのではなく全部が壊れることである。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、二つの周波数に零を置くと係数は $\mathbf{5}$ 個になり、応答は $\mathbf{2.217\times10^{-16}}$ と $\mathbf{3.608\times10^{-16}}$ である（第2節）。

第二に、指定していない周波数では消えない。$w=1.35$ で $\mathbf{1.036220}$ であり、検査は「どこでも消える」と言っているのではない（第2節）。

第三に、零を一つ足すと係数は $\mathbf{7}$ 個に増える。実の周波数一つにつき共役の対が要るので、増えるのは $\mathbf{2}$ 個ずつである（第3節）。

第四に、これが本稿の芯である。係数を $\mathbf{5}$ 個へ切り詰めると、応答は $\mathbf{1.811720}$、$\mathbf{1.144454}$、$\mathbf{0.527118}$ となり、三つとも零でなくなる（第3節）。

第五に、切り詰める前は三つとも $\mathbf{1.335\times10^{-15}}$ より小さかった。境目である（第3節）。

第六に、分離子は係数の個数である。どの周波数を選ぶかを変えても上限は動かず、個数を変えたときだけ動く（第4節）。

キーワード：FIR フィルタ、零点、代数学の基本定理、周波数の除去、ディジタル信号処理

Abstract

How many demands of the form “null this frequency” can be met?What this paper shows is that the ceiling is set by the number of coefficients, and that falling short does not cost one demand but all of them.No new theorem or law is claimed.

First, placing zeros at two frequencies gives $\mathbf{5}$ coefficients, with responses $\mathbf{2.217\times10^{-16}}$ and $\mathbf{3.608\times10^{-16}}$ (Section 2).

Second, frequencies not asked for are not nulled、at $w=1.35$ the response is $\mathbf{1.036220}$, so the check is not saying that everything vanishes (Section 2).

Third, adding one more zero raises the count to $\mathbf{7}$、a real frequency needs a conjugate pair, so coefficients come $\mathbf{2}$ at a time (Section 3).

Fourth, this is the core of the paper.Truncating back to $\mathbf{5}$ coefficients gives responses $\mathbf{1.811720}$, $\mathbf{1.144454}$ and $\mathbf{0.527118}$: none of the three is a zero any more (Section 3).

Fifth, before the truncation all three stood below $\mathbf{1.335\times10^{-15}}$、the boundary (Section 3).

Sixth, the separator is the number of coefficients、changing which frequencies are chosen leaves the ceiling where it is; only changing the count moves it (Section 4).

Keywords: FIR filter, zeros, fundamental theorem of algebra, frequency nulling, digital signal processing

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/520/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/520 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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