論文525 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/525 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22867611）。
本文はサイトの記事でも読めます：【論文525】同じ「証明できない」が、対角線から来るものと、増え方から来るものに分かれる
日付の証拠（OpenTimestamps）：日本語版の .ots・英語版の .ots・SHA256SUMS
予備の置き場所（ミラー。中身は上と同じです）：PDF 日本語・PDF English・SHA256SUMS
住所：https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/525・DOI 10.5281/zenodo.22867611・CC BY 4.0・プレプリント（査読を経ていません）・ORCID 0009-0006-8587-3450
引用するとき
山岸勇輝 (2026). 同じ「証明できない」が、対角線から来るものと、増え方から来るものに分かれる [論文525]. YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/525 ・ DOI: 10.5281/zenodo.22867611
Yamagishi, Y. (2026). The Same ``Unprovable'' Splits into One from Diagonalisation and One from Growth [Paper 525]. YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/525; DOI: 10.5281/zenodo.22867611
@misc{yamagishi2026yoi525,
author = {Yamagishi, Yuuki},
title = {The Same ``Unprovable'' Splits into One from Diagonalisation and One from Growth},
year = {2026},
howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/525},
doi = {10.5281/zenodo.22867611},
note = {Preprint, edition 1}
}
指紋（SHA-256）と確かめ方
1b0b81efa873d59f92425a7a5266fbda92be6da0a471780eb2bb879d3f76a430 yamagishi_yoi525_v1_jp.pdfe15318509cf080ad0fc9abc28f146914e8d869de7ad83149601c6bb0abee5431 yamagishi_yoi525_v1_en.pdfPDF と .ots を同じ場所に保存し、opentimestamps.org に .ots、続けて PDF を落とすと、記録された日時が表示されます。PDF が 1 バイトでも変わっていれば通りません。
日付の証拠（OpenTimestamps）
2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969428・969440・969461 に記録されました（2026年10月01日 17:42（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。
書誌
| 題名 | 同じ「証明できない」が、対角線から来るものと、増え方から来るものに分かれる |
|---|---|
| Title | The Same ``Unprovable'' Splits into One from Diagonalisation and One from Growth |
| 著者 | 山岸 勇輝 (Yuuki YAMAGISHI)・ORCID 0009-0006-8587-3450 |
| 所属 | 山岸複雑性トーラス研究所 (Yamagishi Complexity Torus Lab, Japan) |
| 版 | 第1版（2026年9月） |
| 言語 | 日本語・英語 |
| 種別 | プレプリント（査読を経ていません） |
| ライセンス | CC BY 4.0（出典を示せば、複製・再配布・改変ができます） |
| YOI | https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/525 |
| DOI（Zenodo） | 10.5281/zenodo.22867611 |
要旨
「ペアノ算術で証明できない」という同じ一言が、ゲーデルの文にもグッドスタインの定理にも使われている。本稿が示すのは、二つが別の根から来ており、片方は自己言及から、もう片方は増え方の速さから来ることである。新しい定理も法則も主張しない。
第一に、$R(3,3)=6$ は総当たりで決まる。$K_{5}$ には単色三角形を持たない塗りが在り、$K_{6}$ には $\mathbf{32768}$ 通りのどれにも無い（第2節）。
第二に、同じ有限の問いでも $R(5,5)$ には届かない。総当たりは $2^{\mathbf{903}}$ 通りで、有限であることと計算できることは別である（第2節）。
第三に、グッドスタイン数列は $n=3$ なら $\mathbf{3,3,3,2,1,0}$ の $\mathbf{6}$ 項で終わる。手数にすると $\mathbf{5}$ 手であり、この場で確かめられる（第3節）。
第四に、これが本稿の芯である。$n=4$ では整数が増え続けるのに、順序数は毎手小さくなっている。数列は $\mathbf{4,26,41,60,83,109,139,173,211,253,299,348}$ と単調に増えるが、底を上げる前に読んだ順序数は一手ごとに厳密に減る（第3節）。
第五に、終わることは分かるのに、いつ終わるかは有限の道具で言えない。$n=4$ が $0$ に着くのは $3\cdot2^{402653211}-2$ 手後である（第3節）。
第六に、分離子は「何が減っているか」である。ゲーデルの文は対角線を要り、グッドスタインは $\varepsilon_{0}$ までの順序数を要る（第4節）。
キーワード：不完全性定理、パリス＝ハリントンの定理、グッドスタインの定理、ペアノ算術、ラムゼー理論
Abstract
The same phrase, “unprovable in Peano arithmetic”, is applied to Godel’s sentence and to Goodstein’s theorem.What this paper shows is that the two come from different roots, one from self-reference and one from the speed of growth.No new theorem or law is claimed.
First, $R(3,3)=6$ is settled by exhaustion、$K_{5}$ admits a colouring with no monochromatic triangle, and none of the $\mathbf{32768}$ colourings of $K_{6}$ does (Section 2).
Second, the same finite question for $R(5,5)$ is out of reach、exhaustion faces $2^{\mathbf{903}}$ colourings, so being finite and being computable are different (Section 2).
Third, the Goodstein sequence from $n=3$ ends in the $\mathbf{6}$ terms $\mathbf{3,3,3,2,1,0}$、five steps, checkable on the spot (Section 3).
Fourth, and this is the core.From $n=4$ the integers keep growing while the ordinal shrinks at every step、the sequence climbs $\mathbf{4,26,41,60,83,109,139,173,211,253,299,348}$ monotonically, while the ordinal read off before the base is raised decreases strictly each time (Section 3).
Fifth, termination is provable while the time to terminate is not writable with finite tools、from $n=4$ it reaches $0$ after $3\cdot2^{402653211}-2$ steps (Section 3).
Sixth, the separator is what is decreasing、Godel’s sentence needs a diagonal, Goodstein needs ordinals up to $\varepsilon_{0}$ (Section 4).
Keywords: incompleteness theorem, Paris-Harrington theorem, Goodstein's theorem, Peano arithmetic, Ramsey theory
版の記録
ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/525/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/525 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。