YOI 532：むだ時間をループの外へ出す代わりに、要求されるのは模型である

論文532 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/532 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.23014107）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文532】むだ時間をループの外へ出す代わりに、要求されるのは模型である

@misc{yamagishi2026yoi532,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Taking Dead Time Out of the Loop Demands a Model in Its Place},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/532},
  doi = {10.5281/zenodo.23014107},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969428・969440・969461 に記録されました（2026年10月01日 17:42（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

むだ時間があると、制御ループは位相余裕を失って不安定になる。本稿が示すのは、スミス予測器がむだ時間を特性方程式の外へ出す代わりに模型を要求すること、そしてその模型の精度への要求が予想よりはるかに緩いことである。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、むだ時間の限界が閉じた式で出る。ゲイン $2$ の比例制御では交差角周波数 $\mathbf{1.7320508}$、位相余裕が零になるむだ時間は $\mathbf{1.209200}$ 秒である（第2節）。

第二に、その手前では余裕がある。むだ時間を半分にすると位相余裕は $\mathbf{60.0000}$ 度で、境目の反対側である（第2節）。

第三に、限界を超えると振れが伸びる。$L=1.5$ 秒では、中間の振れ $\mathbf{34.723}$ が末尾で $\mathbf{1804.7}$ になり、伸び率は $\mathbf{51.9721}$ である（第3節）。

第四に、模型が正確なら、同じむだ時間で安定になる。伸び率は $\mathbf{1.0000}$、末尾の偏差は $\mathbf{1.83\times10^{-14}}$ で、むだ時間が無い場合と同じ定常値に落ち着く（第3節）。

第五に、これが本稿の芯である。模型に要る精度は、予想よりはるかに緩い。模型のむだ時間が実際の $\mathbf{1.60}$ 倍でも $\mathbf{0.10}$ 倍でも安定で、壊れる境目は $\mathbf{0.0617}$ 倍、$\mathbf{0.0925}$ 秒である（第4節）。

第六に、分離子は「模型が在るか」であって「模型が正確か」ではない。模型のむだ時間を $\mathbf{0}$ にすると、予測器は素の帰還に戻り、伸び率 $\mathbf{51.9721}$ に戻る（第5節）。

キーワード：スミス予測器、むだ時間、位相余裕、フィードバック制御、模型の誤差

Abstract

Dead time costs a control loop its phase margin and eventually its stability.What this paper shows is that the Smith predictor removes dead time from the characteristic equation only in exchange for a model, and that the accuracy demanded of that model is far weaker than expected.No new theorem or law is claimed.

First, the limit on dead time follows in closed form、with a proportional gain of $2$ the crossover frequency is $\mathbf{1.7320508}$ and the phase margin vanishes at $\mathbf{1.209200}$ seconds (Section 2).

Second, there is margin short of that、halving the dead time leaves a phase margin of $\mathbf{60.0000}$ degrees, the far side of the boundary (Section 2).

Third, beyond the limit the oscillation grows、at $L=1.5$ seconds an amplitude of $\mathbf{34.723}$ in the middle window becomes $\mathbf{1804.7}$ at the end, a growth of $\mathbf{51.9721}$ (Section 3).

Fourth, with an exact model the same dead time is stable、growth of $\mathbf{1.0000}$ and a final error of $\mathbf{1.83\times10^{-14}}$, settling where a delay-free loop settles (Section 3).

Fifth, and this is the core.The accuracy demanded of the model is far weaker than expected、a model dead time of $\mathbf{1.60}$ or $\mathbf{0.10}$ times the true one is still stable, and the boundary lies at $\mathbf{0.0617}$, that is $\mathbf{0.0925}$ seconds (Section 4).

Sixth, the separator is whether a model exists, not whether it is accurate、set the model’s dead time to $\mathbf{0}$ and the predictor collapses to plain feedback, with growth back at $\mathbf{51.9721}$ (Section 5).

Keywords: Smith predictor, dead time, phase margin, feedback control, model mismatch

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/532/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/532 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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