YOI 533：多重比較の補正と、包除を切る不等式は、同じ一本の式である

論文533 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/533 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.23014113）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文533】多重比較の補正と、包除を切る不等式は、同じ一本の式である

@misc{yamagishi2026yoi533,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The Multiple-Comparison Correction and the Truncated Inclusion-Exclusion Bound Are One Inequality},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/533},
  doi = {10.5281/zenodo.23014113},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969428・969440・969461 に記録されました（2026年10月01日 17:42（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

多重比較の補正と、包除原理を途中で切って上下から挟む不等式は、別の話として教えられる。本稿が示すのは、二つが同じ一本の不等式であり、片方はその第一項だけを使っていることである。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、補正しないと、確率はすぐ大きくなる。水準 $0.05$ の独立な検定を $20$ 個並べると、少なくとも一つで誤る確率は $\mathbf{0.641514}$、$100$ 個なら $\mathbf{0.994079}$ である（第2節）。

第二に、水準を $\alpha/k$ にすると収まる。$k=20$ で $\mathbf{0.048830}$ となり、$0.05$ を下回る（第2節）。

第三に、その補正は、和事象の確率が各確率の和以下だという一行から出る。$k\cdot(\alpha/k)=\alpha$ であり、独立性も正規性も使っていない（第2節）。

第四に、これが本稿の芯である。同じ不等式の続きが、包除の打ち切りである。厳密な $\mathbf{0.8859739369}$ に対し、$1$ 項が $\mathbf{1.3954082362}$、$2$ 項が $\mathbf{0.8101316015}$、$3$ 項が $\mathbf{0.8882566015}$ と交互に挟み込む（第3節）。

第五に、補正が保守的なのは、第一項で止めているからである。独立を仮定した厳密な水準は $\mathbf{0.00256138}$、$\alpha/k$ は $\mathbf{0.00250000}$ で、$\mathbf{2.4552}$ パーセント厳しい（第4節）。

第六に、分離子は、どこで打ち切ったかである。独立性を仮定するかどうかではない（第4節）。

キーワード：多重比較、ボンフェローニ補正、ブールの不等式、包除原理、第一種の過誤

Abstract

The multiple-comparison correction and the inequality that brackets a truncated inclusion-exclusion are taught as separate matters.What this paper shows is that they are one inequality, and that the correction uses only its first term.No new theorem or law is claimed.

First, without correction the probability climbs fast、twenty independent tests at level $0.05$ give a chance of at least one error of $\mathbf{0.641514}$, and a hundred give $\mathbf{0.994079}$ (Section 2).

Second, setting the level to $\alpha/k$ contains it、$\mathbf{0.048830}$ at $k=20$, below $0.05$ (Section 2).

Third, the correction follows from one line, that a union is at most the sum、$k\cdot(\alpha/k)=\alpha$, using neither independence nor normality (Section 2).

Fourth, and this is the core.The continuation of that same inequality is the truncated inclusion-exclusion、against an exact $\mathbf{0.8859739369}$, one term gives $\mathbf{1.3954082362}$, two give $\mathbf{0.8101316015}$ and three give $\mathbf{0.8882566015}$, alternating (Section 3).

Fifth, the correction is conservative because it stops at the first term、the exact level under independence is $\mathbf{0.00256138}$ against $\alpha/k=\mathbf{0.00250000}$, stricter by $\mathbf{2.4552}$ per cent (Section 4).

Sixth, the separator is where the series was cut、not whether independence was assumed (Section 4).

Keywords: multiple comparisons, Bonferroni correction, Boole's inequality, inclusion-exclusion principle, type I error

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/533/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/533 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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