YOI 540：複合材の上限と下限は、算術平均と調和平均そのものである

論文540 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/540 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.23014138）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文540】複合材の上限と下限は、算術平均と調和平均そのものである

@misc{yamagishi2026yoi540,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The Upper and Lower Bounds of a Composite Are the Arithmetic and Harmonic Means Themselves},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/540},
  doi = {10.5281/zenodo.23014138},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969428・969440・969461 に記録されました（2026年10月01日 17:42（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

複合材の剛性には上限と下限があり、その比には閉じた式がある。本稿が示すのは、その二つが算術平均と調和平均そのものであり、閉じた式が平均の族の中に住所を持つことである。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、論文342 の数が戻る。炭素繊維 $230$ GPa とエポキシ $3.5$ GPa を半分ずつ混ぜると、並列 $\mathbf{116.7500}$ GPa、直列 $\mathbf{6.8951}$ GPa になる（第2節）。

第二に、これが本稿の芯である。あちらの閉じた式は、算術平均を調和平均で割ったものである。$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}(r+1/r)=\mathbf{16.932376}$ が、$116.7500/6.8951$ と $12$ 桁一致する（第2節）。

第三に、幾何平均は必ずあいだに入る。体積分率 $0.5$ で $\mathbf{28.3725}$ GPa であり、$\mathbf{6.8951}$ と $\mathbf{116.7500}$ の内側にある（第3節）。

第四に、開きは材料の比だけで決まる。$(230,3.5)$ でも $(460,7.0)$ でも $(23,0.35)$ でも、最大の開きは $\mathbf{16.932376}$ で動かない（第4節）。

第五に、比を変えれば動く。材料の比を $10$ にすると最大の開きは $\mathbf{3.025000}$ になる（第4節）。

第六に、分離子は、どの平均を取るかである。ひずみを揃えるか応力を揃えるかが、算術平均を取るか調和平均を取るかに対応する（第5節）。

キーワード：複合材、フォークト＝ロイスの上下限、算術平均、調和平均、弾性率

Abstract

A composite’s stiffness has an upper and a lower bound, and their ratio has a closed form.What this paper shows is that those two bounds are the arithmetic and harmonic means themselves, so the closed form has an address within the family of means.No new theorem or law is claimed.

First, the numbers of Paper 342 return、carbon fibre at $230$ GPa and epoxy at $3.5$ GPa in equal parts give $\mathbf{116.7500}$ GPa in parallel and $\mathbf{6.8951}$ GPa in series (Section 2).

Second, and this is the core.That closed form is the arithmetic mean divided by the harmonic mean、$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}(r+1/r)=\mathbf{16.932376}$ agrees with $116.7500/6.8951$ to $12$ digits (Section 2).

Third, the geometric mean always lies between、at a volume fraction of $0.5$ it is $\mathbf{28.3725}$ GPa, inside $\mathbf{6.8951}$ and $\mathbf{116.7500}$ (Section 3).

Fourth, the spread depends only on the ratio of the materials、$(230,3.5)$, $(460,7.0)$ and $(23,0.35)$ all give a maximum spread of $\mathbf{16.932376}$ (Section 4).

Fifth, changing the ratio moves it、a material ratio of $10$ gives a maximum spread of $\mathbf{3.025000}$ (Section 4).

Sixth, the separator is which mean is taken、equal strain corresponds to the arithmetic mean and equal stress to the harmonic (Section 5).

Keywords: composite material, Voigt-Reuss bounds, arithmetic mean, harmonic mean, elastic modulus

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/540/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/540 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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