YOI 590：紙飛行機にクリップを付けても、飛ぶ距離は変わらない

論文590 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/590 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.23014382）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文590】紙飛行機にクリップを付けても、飛ぶ距離は変わらない

@misc{yamagishi2026yoi590,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {A Clip on a Paper Aeroplane Does Not Shorten How Far It Glides},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/590},
  doi = {10.5281/zenodo.23014382},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969432・969435・969440・969461 に記録されました（2026年10月01日 17:55（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

重い紙飛行機は遠くへ飛ばない、と思われやすい。本稿が示すのは、滑空の角度は揚力と抗力の比だけで決まって重さに依らず、重さが変えるのは速さと滞空時間であり、距離を競うか時間を競うかで、飛ばすべき速さが違うことである。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、滑空の角度は揚力係数だけで決まる。定常に滑空するとき、滑空角の正接は抗力と揚力の比である。代表値の抗力の式で、揚抗比の最大は $\mathbf{6.864684}$、そのときの滑空角は $\mathbf{8.288157}$ 度である（第2節）。

第二に、これが本稿の芯である。$1$ g のクリップで重さが $1.200417$ 倍になっても、距離は変わらない。速さと沈下の速さは $\mathbf{1.095635}$ 倍（重さの比の平方根）、滞空時間は $\mathbf{3.996122}$ 秒から $\mathbf{3.647310}$ 秒へ $\mathbf{0.912712}$ 倍になるが、$1.8$ m の高さからの距離は $\mathbf{12.356432}$ m のままである（第3節）。

第三に、運動方程式をそのまま解いても同じである。質点の運動方程式を数値で解くと、距離と時間は定常の式と $4.2\times10^{-13}$ 以内で一致する（第3節）。

第四に、時間を競うなら、沈下が最も遅い揚力係数で飛ぶ、角度を小さいと置いた教科書の閉じた式では、その速さは最良滑空の $3^{-1/4}=\mathbf{0.759836}$ 倍、揚抗比は $\sqrt3/2=\mathbf{0.866025}$ 倍である（第4節）。

第五に、滑空角 $8$ 度を正しく入れると数は少し動く。正確な式で数値的に最適にすると、速さは $\mathbf{0.747049}$ 倍、揚抗比（すなわち距離）は $\mathbf{0.852819}$ 倍、滞空は $\mathbf{1.146023}$ 倍である（第4節）。

第六に、分離子は、距離を競うか時間を競うかである。同じ抗力の式の、別の点が最良になる。重さはどちらの点も動かさず、速さだけを平方根で変える（第5節）。

キーワード：紙飛行機、滑空比、揚抗比、最小沈下、滑空

Abstract

A heavy paper aeroplane is easily taken not to fly far.What this paper shows is that the glide angle is set by the ratio of lift to drag alone and does not depend on weight, that what weight changes is the speed and the time aloft, and that the speed at which to fly differs according to whether one competes in distance or in time.No new theorem or law is claimed.

First, the glide angle is set by the lift coefficient alone、in a steady glide, the tangent of the glide angle is the ratio of drag to lift. With a representative drag law, the greatest lift-to-drag ratio is $\mathbf{6.864684}$, at a glide angle of $\mathbf{8.288157}$ degrees (Section 2).

Second, and this is the core.A $1$ g clip that makes the aeroplane $1.200417$ times heavier leaves the distance unchanged、the speed and the rate of sink become $\mathbf{1.095635}$ times (the square root of the weight ratio) and the time aloft falls from $\mathbf{3.996122}$ to $\mathbf{3.647310}$ seconds, $\mathbf{0.912712}$ times, but the distance from a height of $1.8$ m stays at $\mathbf{12.356432}$ m (Section 3).

Third, solving the equations of motion directly gives the same、integrating the equations of motion of a point mass numerically, distance and time agree with the steady formulas to within $4.2\times10^{-13}$ (Section 3).

Fourth, to compete in time, fly at the lift coefficient of least sink、in the textbook closed forms, which take the angle to be small, that speed is $3^{-1/4}=\mathbf{0.759836}$ times the speed of best glide and the lift-to-drag ratio $\sqrt3/2=\mathbf{0.866025}$ times (Section 4).

Fifth, putting in the glide angle of $8$ degrees correctly moves the numbers a little、optimising the exact formulas numerically, the speed is $\mathbf{0.747049}$ times, the lift-to-drag ratio (that is, the distance) $\mathbf{0.852819}$ times and the time aloft $\mathbf{1.146023}$ times (Section 4).

Sixth, the separator is whether one competes in distance or in time、different points on the same drag law are best; weight moves neither point and changes only the speed, by a square root (Section 5).

Keywords: paper aeroplane, glide ratio, lift-to-drag ratio, minimum sink, gliding

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/590/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/590 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

YOI の一覧へ