YOI 597：球がぴったり詰まる数の条件を満たしても、その符号は在るとは限らない

論文597 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/597 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.23014414）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文597】球がぴったり詰まる数の条件を満たしても、その符号は在るとは限らない

@misc{yamagishi2026yoi597,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Meeting the Condition That the Spheres Fill Space Exactly Does Not Mean the Code Exists},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/597},
  doi = {10.5281/zenodo.23014414},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969432・969435・969440・969461 に記録されました（2026年10月01日 17:55（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

誤りを直す符号には、どの語もちょうど一つの符号語の近くにある「完全符号」がある。その数の条件は、符号語のまわりの球の点の数を足すと、ちょうど全体の語の数になることである。本稿が示すのは、この数の条件は完全符号が在るための必要条件にすぎず、長さ $90$ では条件が成り立つのに符号は無く、それは全体の数え上げではなく、二つの位置を固定した局所の数え上げで初めて分かることである。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、ハミング符号は完全である。長さ $7$ で $16$ 個の符号語のまわりの半径 $1$ の球（$8$ 点）が、$128$ 語をちょうど一度ずつ覆う。$128$ 語すべてで、距離 $1$ 以内の符号語はちょうど $1$ 個である（第2節）。

第二に、ゴレイ符号も完全である。長さ $23$ で符号語は $4096$ 個、最小の重さは $7$、半径 $3$ の球は $2048$ 点で、$4096\times2048=2^{23}$ をちょうど埋める（第3節）。

第三に、数の条件を満たす長さは少ない。長さ $20000$ まで・直す誤りの数 $8$ までで探すと、ハミング符号と自明な反復符号を除けば、長さ $23$（誤り $3$）と長さ $90$（誤り $2$）の二つだけである（第4節）。

第四に、これが本稿の芯である。長さ $90$ では $1+90+4005=4096=2^{12}$ と数が合うのに、符号は無い。二つの位置を含む重さ $3$ の語 $88$ 個を、重さ $5$ の符号語が $3$ 個ずつ覆わなければならず、$88/3=\mathbf{29.333333}$ で割り切れない（第4節）。

第五に、全体で数えると、矛盾は見えない。重さ $3$ の語 $117480$ 個を重さ $5$ の符号語が $10$ 個ずつ覆えば $11748$ 個で、割り切れる。ゴレイ符号では局所の数え上げも $20/4=5$ で割り切れ、実際に数えても $5$ 個である（第4節）。

第六に、分離子は、数え上げを全体でするか、位置を固定して局所でするかである。全体の数が合うことは、局所の数が合うことを保証しない（第5節）。

キーワード：完全符号、ハミング限界、誤り訂正符号、ゴレイ符号、球の詰め込み

Abstract

Among error-correcting codes there are “perfect codes”, in which every word lies near exactly one codeword. Their number condition is that the points of the spheres around the codewords add up to exactly the number of words.What this paper shows is that this number condition is only necessary for a perfect code to exist: at length $90$ the condition holds but there is no code, and this is seen not by a global count but only by a local count with two positions fixed.No new theorem or law is claimed.

First, the Hamming code is perfect、at length $7$ the radius-one spheres ($8$ points) around its $16$ codewords cover the $128$ words exactly once each: every one of the $128$ words has exactly $1$ codeword within distance $1$ (Section 2).

Second, the Golay code is perfect too、at length $23$ it has $4096$ codewords of minimum weight $7$; radius-three spheres have $2048$ points and fill $4096\times2048=2^{23}$ exactly (Section 3).

Third, few lengths meet the number condition、searching lengths up to $20000$ and up to $8$ errors corrected, apart from Hamming codes and trivial repetition codes only length $23$ (three errors) and length $90$ (two errors) appear (Section 4).

Fourth, and this is the core.At length $90$ the numbers fit, $1+90+4005=4096=2^{12}$, yet there is no code、the $88$ weight-three words containing two given positions would have to be covered three at a time by weight-five codewords, and $88/3=\mathbf{29.333333}$ is not an integer (Section 4).

Fifth, a global count shows no contradiction、the $117480$ weight-three words covered ten at a time by weight-five codewords need $11748$ of them, a whole number. For the Golay code the local count also divides, $20/4=5$, and counting gives $5$ (Section 4).

Sixth, the separator is whether one counts globally or locally with positions fixed、that the global numbers fit does not guarantee that the local numbers fit (Section 5).

Keywords: perfect code, Hamming bound, error-correcting code, Golay code, sphere packing

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/597/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/597 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

YOI の一覧へ