YOI 598：宝石が光を上へ返す角度の窓は、屈折率 √2 で開き、2.3048 のあたりで最も広い

論文598 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/598 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.23014418）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文598】宝石が光を上へ返す角度の窓は、屈折率 2 で開き、2.3048 のあたりで最も広い

@misc{yamagishi2026yoi598,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The Window of Angles at Which a Gem Returns Light Upward Opens at Refractive Index √2 and Is Widest Near 2.3048},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/598},
  doi = {10.5281/zenodo.23014418},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969432・969435・969440・969461 に記録されました（2026年10月01日 17:55（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

ダイヤモンドがよく光るのは、屈折率が高いからだ、と言われる。本稿が示すのは、真上から入った光を二度の全反射で上へ返せるパビリオンの角度には窓があり、その窓は屈折率 $\sqrt2$ で開き、$2.304765$ で最も広くなって、それより高いと狭まることである。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、窓を決める条件は五つある。右の面で全反射すること、左の面へ向かうこと、左の面で全反射すること、上の面から出ること、出る光が反対側に傾きすぎないことである（第2節）。

第二に、窓は屈折率 $\sqrt2$ で開く。臨界角が $45$ 度、屈折率 $\sqrt2=\mathbf{1.414214}$ より低いと窓は無い。水（$1.333$）には窓が無く、ガラス（$1.5$）で $\mathbf{4.2529}$ 度、石英（$1.544$）で $6.1786$ 度である（第3節）。

第三に、これが本稿の芯である。窓は屈折率 $\mathbf{2.304765}$（臨界角 $180/7$ 度）で最も広い $\mathbf{12.857143}$ 度になり、それより高いと臨界角の半分に狭まる。ダイヤモンドの $\mathbf{12.2199}$ 度は、キュービックジルコニアの $\mathbf{12.6902}$ 度よりわずかに狭い（第3節）。

第四に、光線を一本ずつ追うと、窓の端は閉じた式と $0.0005$ 度以内で一致する。ただし最初に書いた閉じた式は五つ目の条件を落としていて、ダイヤモンドの上端が $0.7435$ 度食い違った。二つの道で確かめたから見つかった（第4節）。

第五に、トルコフスキーの $40.75$ 度は、ダイヤモンドの窓に入り、ガラスの窓には入らない。同じ角度が、屈折率によって光を返したり返さなかったりする（第4節）。

第六に、分離子は、どの条件が窓の端を決めているかである。屈折率が低いと全反射の条件が、高いと上へ出る条件が端を決め、その入れ替わるところで窓が最も広い（第5節）。

キーワード：宝石のカット、全反射、臨界角、屈折率、ダイヤモンド

Abstract

Diamond is said to sparkle because its refractive index is high.What this paper shows is that there is a window of pavilion angles at which light entering from straight above is returned upward by two total reflections, and that this window opens at refractive index $\sqrt2$, is widest at $2.304765$, and narrows beyond.No new theorem or law is claimed.

First, five conditions fix the window、total reflection at the right face, travelling towards the left face, total reflection at the left face, leaving through the top, and not tilting too far to the other side on the way out (Section 2).

Second, the window opens at refractive index $\sqrt2$、below a critical angle of $45$ degrees, refractive index $\sqrt2=\mathbf{1.414214}$, there is no window. Water ($1.333$) has none; glass ($1.5$) has $\mathbf{4.2529}$ degrees and quartz ($1.544$) $6.1786$ degrees (Section 3).

Third, and this is the core.The window is widest, $\mathbf{12.857143}$ degrees, at refractive index $\mathbf{2.304765}$ (critical angle $180/7$ degrees), and beyond that narrows to half the critical angle、diamond’s $\mathbf{12.2199}$ degrees is slightly narrower than cubic zirconia’s $\mathbf{12.6902}$ degrees (Section 3).

Fourth, tracing rays one by one, the window’s edges agree with the closed form to within $0.0005$ degrees、but the closed form first written left out the fifth condition, and diamond’s upper edge was off by $0.7435$ degrees; checking by two routes found it (Section 4).

Fifth, Tolkowsky’s $40.75$ degrees lies in diamond’s window and not in glass’s、the same angle returns light or not according to the refractive index (Section 4).

Sixth, the separator is which condition fixes the edges of the window、at low index the total-reflection conditions fix the edges, at high index the conditions for leaving through the top, and where they exchange the window is widest (Section 5).

Keywords: gem cutting, total internal reflection, critical angle, refractive index, diamond

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/598/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/598 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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