YOI 630：無作為な弦が長い確率は、何を一様と置くかで 1/3 にも 1/2 にも 1/4 にもなる

論文630 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/630 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.23014554）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi630,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The Chance That a Random Chord Is Long Is 1/3, 1/2 or 1/4, Depending on What Is Taken as Uniform},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/630},
  doi = {10.5281/zenodo.23014554},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969434・969435・969440・969461 に記録されました（2026年10月01日 18:16（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

半径 $1$ の円に「無作為に」弦を引き、内接正三角形の一辺 $\sqrt{3}$ より長くなる確率を求める。「無作為」の置き方を三つ取って乱数と式で数え、平面に棒を投げる実験がどれに合うかを見る。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、答は三つに分かれる。両端を円周上に一様に選ぶと $1/3$、半径を一本選んでその上に中点を一様に置くと $1/2$、中点を円板の中に一様に置くと $1/4$ になる。乱数 $2000000$ 本ずつで、$0.333147$・$0.499918$・$0.249906$ だった（第2節）。

第二に、分かれるのは一つの境目だけではない。弦の長さの平均も、式で $4/\pi=1.273240$・$\pi/2=1.570796$・$4/3$ と分かれ、乱数では $1.272753$・$1.570556$・$1.333237$ だった。三つの置き方は、弦の長さの分布そのものが違う（第3節）。

第三に、これが本稿の芯である。三つの答は、弦を決める量のどれを一様と置くかの違いである。両端の位置か、中心から弦までの距離か、中点の位置か。長いのは中心からの距離が $1/2$ 未満のときで、この同じ出来事に、三つの置き方が別の確率を割り当てる。「無作為な弦」という言葉だけでは、どれを一様と置くかが決まらない（第2節・第5節）。

第四に、棒を投げる実験は、半径の上に選ぶ仕方に合う。広い正方形の中に一様な点を取り、一様な向きの直線を引くと、円に当たった $224442$ 本の弦は、$\sqrt{3}$ より長い割合が $\mathbf{0.499688}$、半径 $1$ より長い割合が $0.867102$（半径の上に選ぶ仕方の式 $\sqrt{3}/2=0.866025$）、長さの平均が $1.571687$（同じく $\pi/2$）で、三つとも三つの式のうち半径の上に選ぶ仕方に最も近かった。投げ方を決めると、答が一つに決まる（第4節）。

キーワード：ベルトランの逆説、幾何確率、無作為な弦、一様の置き方、ジェインズ

Abstract

A chord is drawn “at random” in a circle of radius $1$, and the probability that it is longer than $\sqrt{3}$, the side of the inscribed equilateral triangle, is sought.Three ways of placing “at random” are counted by simulation and formula, and a rod-throwing experiment on the plane is compared with them.No new theorem or law is claimed.

First, the answer splits three ways、choosing both ends uniformly on the circle gives $1/3$; choosing a radius and placing the midpoint uniformly on it gives $1/2$; placing the midpoint uniformly in the disc gives $1/4$. With $2000000$ random chords each, the results were $0.333147$, $0.499918$ and $0.249906$ (Section 2).

Second, it is not only one threshold that splits、the mean chord length also splits, as $4/\pi=1.273240$, $\pi/2=1.570796$ and $4/3$ by formula and $1.272753$, $1.570556$ and $1.333237$ by simulation. The three placements differ in the whole distribution of chord lengths (Section 3).

Third, and this is the core.The three answers differ in which quantity fixing the chord is taken as uniform、the positions of the ends, the distance from the centre to the chord, or the position of the midpoint. The chord is long when the distance from the centre is less than $1/2$, and the three placements assign this same event different probabilities. The words “a random chord” alone do not decide which is uniform (Sections 2 and 5).

Fourth, the rod-throwing experiment matches choosing on a radius、taking a uniform point in a large square and drawing a line through it in a uniform direction, the $224442$ chords from lines hitting the circle gave a share longer than $\sqrt{3}$ of $\mathbf{0.499688}$, a share longer than the radius $1$ of $0.867102$ (the formula for choosing on a radius is $\sqrt{3}/2=0.866025$), and a mean length of $1.571687$ (likewise $\pi/2$); all three were closest, among the three formulas, to choosing on a radius. Fixing how to throw fixes the answer (Section 4).

Keywords: Bertrand paradox, geometric probability, random chord, choice of uniform measure, Jaynes

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/630/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/630 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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