YOI 631：道を一本足して全員が遅くなるのは、車が 3000 台と 9000 台のあいだだけである

論文631 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/631 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.23014556）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi631,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Adding a Road Slows Everyone Down Only When the Number of Cars Lies Between 3000 and 9000},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/631},
  doi = {10.5281/zenodo.23014556},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969434・969435・969440・969461 に記録されました（2026年10月01日 18:16（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

出発から着までの経路が二つある。一つは「車の数 $/100$ 分」の道のあとに $45$ 分の道、もう一つは $45$ 分の道のあとに「車の数 $/100$ 分」の道である。ここに、二つの経路の途中をつなぐ $0$ 分の近道を足す。各自が自分の最短を選び、誰も一人だけ経路を替えて得をしなくなった所（落ち着き先）を、車の数を変えて数える（ブラエスの逆説）。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、$4000$ 台では、近道を足すと $65$ 分が $80$ 分になる。足す前は半分ずつ分かれて $65$ 分である。足した後の落ち着き先は、閉じた式でも、対称を仮定しない数値の解き方（フランク＝ウルフ法）でも、全員が近道を通る $80$ 分だった。ほかの経路は $85$ 分なので、誰も替えない（第2節）。

第二に、全員の合計を最小にする割り当てなら、近道で得をする。$4000$ 台のうち $500$ 台だけに近道を通らせると、平均は $64.687500$ 分で、足す前の $65$ 分より短い。割り当てる者がいれば、道を足して悪くなることはない（第2節）。

第三に、これが本稿の芯である。遅くなるかどうかは、車の数で決まる。$1$ 台から $12000$ 台まで一台ずつ調べると、近道で遅くなるのは $3001$ 台から $8999$ 台、速くなるのは $2999$ 台以下（$1000$ 台なら $50$ 分が $20$ 分）で、$9000$ 台以上では近道が使われない（第3節）。

第四に、落ち着き先と合計最小の比は、$4500$ 台で $4/3$ に届く。比の最大は $4500$ 台の $90$ 分対 $67.5$ 分で、$\mathbf{1.333333}$ である。所要が車の数の一次式の道では、この比が $4/3$ を超えないことが知られており、この網はその上限にちょうど届く（第4節）。

キーワード：ブラエスの逆説、交通網、ワードロップ均衡、アナーキーの代償、利己的な経路選択

Abstract

There are two routes from start to finish. One is a road taking the number of cars $/100$ minutes followed by a $45$-minute road; the other is a $45$-minute road followed by a road taking the number of cars $/100$ minutes. A $0$-minute shortcut joining the middles of the two routes is added.Where each driver picks their own shortest route and no one gains by switching alone (the settled state) is counted as the number of cars changes (Braess’s paradox).No new theorem or law is claimed.

First, with $4000$ cars, adding the shortcut turns $65$ minutes into $80$、before, the cars split in half and take $65$ minutes. After, the settled state, found both by closed form and by a numerical method that does not assume symmetry (the Frank--Wolfe method), has everyone on the shortcut, taking $80$ minutes. The other routes take $85$, so no one switches (Section 2).

Second, an assignment minimising the total gains from the shortcut、sending only $500$ of the $4000$ cars through the shortcut gives an average of $64.687500$ minutes, shorter than the $65$ before. With someone assigning routes, adding a road never makes things worse (Section 2).

Third, and this is the core.Whether it gets slower is decided by the number of cars、checking every number from $1$ to $12000$ cars, the shortcut slows things for $3001$ to $8999$ cars, speeds them for $2999$ or fewer ($50$ minutes become $20$ with $1000$ cars), and goes unused from $9000$ cars (Section 3).

Fourth, the ratio of the settled state to the least total reaches $4/3$ at $4500$ cars、the ratio is largest at $4500$ cars, $90$ minutes against $67.5$, which is $\mathbf{1.333333}$. For roads whose times are linear in the number of cars this ratio is known never to exceed $4/3$, and this network reaches that bound exactly (Section 4).

Keywords: Braess's paradox, traffic network, Wardrop equilibrium, price of anarchy, selfish routing

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/631/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/631 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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