YOI 634：5/121 を大きい単位分数から分けると分母は 25 桁、三つに分ければ 363 で済む

論文634 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/634 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.23014576）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi634,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Splitting 5/121 by the Largest Unit Fraction First Reaches a 25-Digit Denominator, While Three Terms Need Only 363},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/634},
  doi = {10.5281/zenodo.23014576},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969434・969435・969440・969461 に記録されました（2026年10月01日 18:16（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

分数を、相異なる単位分数（分子が $1$ の分数）の和に表す（エジプト式分数）。毎回、残りを超えない最大の単位分数を取る方法（貪欲法）と、全探索で見つけた最も短い表し方を比べる。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、$5/121$ は貪欲法で五項になり、分母が $25$ 桁に達する。分母は $25$・$757$・$763309$・$873960180913$・$1527612795642093418846225$ で、一つ前の分母の桁数に対する比は $2.059527$・$2.043246$・$2.029934$・$2.025209$ と、ほぼ $2$ である（第2節）。

第二に、三つに分ければ、最大の分母は $363$ で済む、全探索では、$5/121$ は二項では表せず、三項の表し方は $21$ 通りあった。最大の分母が最も小さいのは $1/33+1/121+1/363$ で、$21$ 通りの最大の分母は $363$ から $275275$ までだった（第3節）。

第三に、これが本稿の芯である。貪欲法の外れ方は、項の数より分母の大きさに出る。貪欲法で次に取る分母 $d'$ は、いま取った分母 $d$ について必ず $d(d-1)$ より大きい。だから一度外れると分母の桁がほぼ倍ずつ増え、二項多いだけの差が、$3$ 桁と $25$ 桁の差になる（第2節・第4節）。

第四に、分子 $4$・$5$ の分数では、ときどき外れる。分母 $200$ 以下の既約分数で数えると、分子 $4$ の $98$ 個のうち $18$ 個、分子 $5$ の $156$ 個のうち $23$ 個で、貪欲法が最少より多い項を使った。$4/49$ は貪欲法で四項（最後の分母 $9204734721$）だが、$1/14+1/98$ の二項で表せる（第5節）。

キーワード：エジプト式分数、単位分数、貪欲法、シルベスターの数列、分母の増え方

Abstract

A fraction is written as a sum of distinct unit fractions, fractions with numerator $1$ (an Egyptian fraction).Taking each time the largest unit fraction not exceeding the rest (the greedy method) is compared with the shortest form found by exhaustive search.No new theorem or law is claimed.

First, $5/121$ takes five greedy terms, reaching a $25$-digit denominator、the denominators are $25$, $757$, $763309$, $873960180913$ and $1527612795642093418846225$, and the ratios of their numbers of digits to the previous one are $2.059527$, $2.043246$, $2.029934$ and $2.025209$, close to $2$ (Section 2).

Second, with three terms the largest denominator need only be $363$、exhaustive search found no two-term form of $5/121$ and $21$ three-term forms. The one with the smallest largest denominator is $1/33+1/121+1/363$, and the largest denominators of the $21$ forms range from $363$ to $275275$ (Section 3).

Third, and this is the core.The greedy method’s miss shows in the size of the denominators more than in the number of terms、the next greedy denominator $d'$ is always larger than $d(d-1)$ for the current denominator $d$. So once it misses, the digits nearly double at each step, and a difference of just two terms becomes the difference between $3$ digits and $25$ (Sections 2 and 4).

Fourth, for fractions with numerator $4$ or $5$, it misses now and then、counting reduced fractions with denominators up to $200$, the greedy method used more terms than the fewest for $18$ of the $98$ with numerator $4$ and $23$ of the $156$ with numerator $5$. $4/49$ takes four greedy terms (the last denominator $9204734721$) but is $1/14+1/98$ in two (Section 5).

Keywords: Egyptian fractions, unit fractions, greedy algorithm, Sylvester's sequence, growth of denominators

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/634/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/634 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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