YOI 637：11.94 倍より遠い円軌道へは、いったんさらに遠くへ出てから戻るほうが燃料が少なくて済む

論文637 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/637 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.23014596）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi637,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {For a Circular Orbit More Than 11.94 Times Farther Out, Going Even Farther First and Coming Back Needs Less Fuel},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/637},
  doi = {10.5281/zenodo.23014596},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969434・969435・969440・969461 に記録されました（2026年10月01日 18:16（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

半径 $1$ の円軌道から半径 $R$ の円軌道へ移る。ホーマン遷移は、楕円に乗る噴射と円に戻す噴射の二回で行く。二楕円遷移は、まず遠点 $B$（$B>R$）の楕円に乗り、$B$ で近点を $R$ まで上げ、$R$ で円に戻す三回で行く。燃料は速度の変化の合計 $\Delta v$ が大きいほど多く要るので、$\Delta v$ の合計で比べる（出発の円軌道の速さを $1$ とする）。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、境は二つある。$B$ を限りなく遠くした二楕円がホーマンと等しくなるのは $R=\mathbf{11.938765}$ である。ホーマンの $\Delta v$ は $R=15.581719$ で最大の $0.536258$ になり、それより遠い行き先では、どの $B$ でも二楕円のほうが安かった。二つの境の間の $R=13$ では、$B$ が $48.904843$ より遠いときだけ二楕円が安い（第2節・第3節）。

第二に、これが本稿の芯である。ホーマンの $\Delta v$ は、行き先が遠いほど増え続けるのではない。$R=3.304167$ を超えると、行き先の円軌道に入る $\Delta v$ が、出発点から無限遠へ逃げる $\Delta v$（$\sqrt{2}-1=0.414214$）より大きくなる。遠くの円軌道に入るほうが、逃げ切るより高くつく。だから、ほとんど逃げ切るほど遠くへ出てから戻る道が、安くなりうる（第2節）。

第三に、内訳を並べると、二楕円は出発点で多く燃やし、遠くでわずかに燃やす。$R=20$・$B=100$ で、ホーマンは $0.380131+0.154600=0.534731$、二楕円は $0.407195+0.043663+0.065068=0.515927$ で、$0.018805$ 安い。ただし時間はホーマンの $24.207343$ 倍かかる（第4節）。

第四に、式の $\Delta v$ で本当に着く。軌道を数値で積分し、ホーマンも二楕円も、式の $\Delta v$ で遠点・近点を通って半径 $20$ の円軌道に $10^{-5}$ 以内で着くことを確かめた。地球の高度 $300$ km の円軌道から月の距離の円軌道（$R=57.560963$）へは、ホーマン $3.936544$ km/s に対し、遠くへ出る二楕円は $3.621910$ km/s である（第5節・第6節）。

キーワード：ホーマン遷移、二楕円遷移、軌道遷移、Δv、軌道力学

Abstract

A craft moves from a circular orbit of radius $1$ to one of radius $R$. The Hohmann transfer goes in two burns, one onto an ellipse and one to circularise. The bi-elliptic transfer goes in three: onto an ellipse with apoapsis $B$ ($B>R$), a burn at $B$ raising the periapsis to $R$, and a burn at $R$ to circularise.Since more fuel is needed the larger the total change of velocity $\Delta v$, the transfers are compared by total $\Delta v$ (with the speed on the starting circle as $1$).No new theorem or law is claimed.

First, there are two boundaries、the bi-elliptic transfer with $B$ taken ever farther equals the Hohmann transfer at $R=\mathbf{11.938765}$. The Hohmann $\Delta v$ reaches its maximum of $0.536258$ at $R=15.581719$, and for targets beyond that the bi-elliptic transfer was cheaper for every $B$. At $R=13$, between the two boundaries, it is cheaper only when $B$ lies beyond $48.904843$ (Sections 2 and 3).

Second, and this is the core.The Hohmann $\Delta v$ does not keep rising as the target gets farther、beyond $R=3.304167$, the $\Delta v$ to enter the target circular orbit exceeds the $\Delta v$ to escape to infinity from the start ($\sqrt{2}-1=0.414214$). Entering a far circular orbit costs more than escaping outright. So a path going out almost far enough to escape, then coming back, can be cheaper (Section 2).

Third, set side by side, the bi-elliptic transfer burns more at the start and a little far out、at $R=20$ and $B=100$, the Hohmann transfer takes $0.380131+0.154600=0.534731$ and the bi-elliptic $0.407195+0.043663+0.065068=0.515927$, $0.018805$ less. But it takes $24.207343$ times as long (Section 4).

Fourth, the formula’s $\Delta v$ really arrives、integrating the orbits numerically, both transfers, with the formula’s $\Delta v$, passed through their apoapses and periapses and reached the circular orbit of radius $20$ within $10^{-5}$. From a $300$ km circular Earth orbit to a circular orbit at the Moon’s distance ($R=57.560963$), the Hohmann transfer needs $3.936544$ km/s against $3.621910$ km/s for the bi-elliptic transfer going far out (Sections 5 and 6).

Keywords: Hohmann transfer, bi-elliptic transfer, orbital transfer, delta-v, orbital mechanics

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/637/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/637 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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