YOI 640：偶数を二つの素数の和に表す仕方の数は、3 で割り切れるかでおよそ 2 倍違う

論文640 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/640 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.23014610）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi640,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The Number of Ways to Write an Even Number as a Sum of Two Primes Differs About Twofold by Whether It Is Divisible by 3},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/640},
  doi = {10.5281/zenodo.23014610},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969434・969435・969440・969461 に記録されました（2026年10月01日 18:16（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

偶数 $n$ を二つの素数の和 $p+q$（$p\le q$）に表す仕方の数 $r(n)$ を、$100$ 万まですべて数える。どの偶数も表せるか（ゴールドバッハ予想）は証明しない。表し方の数が何で増えたり減ったりするかを見る。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、$100$ 万までのどの偶数も表せた。$4$ から $1000000$ までの偶数で表し方が $0$ のものは無く、$1$ 通りだけなのは $4$・$6$・$8$・$12$ だった。表し方の数は $100$ で $6$、$10000$ で $127$、$1000000$ で $5402$ である。畳み込みで数えた値は、$310$ 個の偶数で直接の数えと一致した（第2節）。

第二に、これが本稿の芯である。表し方の数は、$n$ を割り切る小さな素数で決まった倍率だけ増える。$90$ 万から $100$ 万の偶数で、$3$ で割り切れるものの平均は割り切れないものの $\mathbf{1.999939}$ 倍だった。$3$ で割り切れないものの中で $5$ で割り切れると $1.333126$ 倍、$3$ と $5$ で割り切れないものの中で $7$ で割り切れると $1.199996$ 倍で、どれも $(p-1)/(p-2)$（$2$・$4/3$・$6/5$）に近い（第3節）。

第三に、倍率は、割り算の余りを数えるだけで出る。$3$ で割り切れない $n$ では、素数 $q$ の半分で $n-q$ が $3$ の倍数になって素数になれない。$3$ で割り切れる $n$ では、そうなる $q$ が無い。だから $3$ で割り切れる $n$ は、およそ $2$ 倍の組を持つ（第3節）。

第四に、予想の式とよく合う。この倍率を入れたハーディとリトルウッドの予想の式と比べると、$90$ 万から $100$ 万の $500$ 個で、実際の数との比は平均 $0.997559$（$0.976919$ から $1.013639$）だった。$1000000$ では、実際の $5402$ に対して式は $5417.08$ である（第4節）。

キーワード：ゴールドバッハ予想、素数の和、表し方の数、ハーディ＝リトルウッド予想、特異級数

Abstract

The number of ways $r(n)$ to write an even number $n$ as a sum of two primes $p+q$ ($p\le q$) is counted for everything up to one million.Whether every even number can be so written (Goldbach’s conjecture) is not proved. What makes the number of ways rise and fall is examined.No new theorem or law is claimed.

First, every even number up to one million could be written、no even number from $4$ to $1000000$ had $0$ ways, and only $4$, $6$, $8$ and $12$ had exactly $1$. The number of ways is $6$ for $100$, $127$ for $10000$ and $5402$ for $1000000$. The values counted by convolution agreed with direct counting for $310$ even numbers (Section 2).

Second, and this is the core.The number of ways rises by fixed factors set by the small primes dividing $n$、among even numbers from $900000$ to $1000000$, the average for those divisible by $3$ was $\mathbf{1.999939}$ times that for the rest. Among those not divisible by $3$, divisibility by $5$ gave $1.333126$ times, and among those divisible by neither $3$ nor $5$, divisibility by $7$ gave $1.199996$ times, each close to $(p-1)/(p-2)$ ($2$, $4/3$, $6/5$) (Section 3).

Third, the factors come from counting remainders alone、when $n$ is not divisible by $3$, for half of the primes $q$ the number $n-q$ is a multiple of $3$ and cannot be prime. When $n$ is divisible by $3$, no such $q$ exists. So an $n$ divisible by $3$ has about twice as many pairs (Section 3).

Fourth, the conjectured formula fits well、compared with the formula conjectured by Hardy and Littlewood, which includes these factors, for $500$ even numbers from $900000$ to $1000000$ the ratio of the actual count to the formula averaged $0.997559$ (from $0.976919$ to $1.013639$). For $1000000$ the actual $5402$ stands against $5417.08$ from the formula (Section 4).

Keywords: Goldbach conjecture, sum of two primes, number of representations, Hardy-Littlewood conjecture, singular series

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/640/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/640 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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