YOI 672：「二つの音」か「一つの揺れる音」かを決めているのは、音ではなく聞き手である

論文672 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/672 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.23014751）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi672,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {What Decides Between ``Two Tones'' and ``One Wavering Tone'' Is Not the Sound but the Listener},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/672},
  doi = {10.5281/zenodo.23014751},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969436・969440・969456・969461 に記録されました（2026年10月01日 18:32（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

二つの音を同時に鳴らすと、あるときは「二つの音」に、あるときは「一つの揺れる音」に聞こえる。その境目はどこにあるか。うなりの側と、聞き分けの側の量を並べて数える。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、うなりの回数は、音の側で決まっている。二つの正弦波の和は、うなりの包絡と平均の高さの積に書き換えられる。数値で確かめると $12$ 桁一致し、包絡の周期は差の半分でも、強さの山は毎秒 $3$ 回（差の $3$ Hz ぶん）立つ（第2節）。

第二に、これが本稿の芯である。境目を与える量は、聞き手の側にある。$440$ Hz での臨界帯域幅は、ツヴィッカーの式で $\mathbf{113.4975}$ Hz、ERB で $\mathbf{72.1932}$ Hz と $\mathbf{1.572137}$ 倍違う。どちらも文献の標準的な式である（第3節）。

第三に、音程に直すと、その幅は広い。ツヴィッカーの帯域は $440$ Hz で $\mathbf{397.2880}$ セント、すなわち半音 $\mathbf{3.972880}$ 個ぶんに当たり、ERB でも $\mathbf{263.0214}$ セントある（第3節）。

第四に、同じうなりが、高さによって違う音程を意味する。$1$ Hz のうなりは $110$ Hz では $\mathbf{15.667383}$ セント、$440$ Hz では $\mathbf{3.930158}$ セント、$880$ Hz では $\mathbf{1.966194}$ セントで、端の比は $\mathbf{7.968379}$ 倍である（第2節）。

第五に、既刊のセントは、そのままうなりの回数になる。論文466 が示した平均律の長三度のずれ $13.686286$ セントは、$440$ Hz の上では毎秒 $\mathbf{4.365262}$ 回のうなりであり、五度のずれ $1.955001$ セントは毎秒 $\mathbf{0.744886}$ 回である（第4節）。

第六に、分離子は、周波数差が臨界帯域を越えるかである。同じ二音でも、越えれば二つに、越えなければ一つの揺れる音になる（第4節）。

キーワード：うなり、臨界帯域幅、等価矩形帯域幅、セント、平均律、周波数分解

Abstract

Sound two tones together and sometimes two tones are heard, sometimes one tone wavering. Where is the boundary?The quantities on the side of the beat and on the side of the hearing are counted side by side.No new theorem or law is claimed.

First, the beat rate is settled on the side of the sound、the sum of two sine waves can be rewritten as an envelope times a mean tone; checked numerically it agrees to $12$ digits, and although the envelope’s period is half the difference, the peaks in strength come at $3$ per second, the full difference (Section 2).

Second, and this is the core. The quantity that sets the boundary belongs to the listener、the critical bandwidth at $440$ Hz is $\mathbf{113.4975}$ Hz by Zwicker’s formula and $\mathbf{72.1932}$ Hz by the equivalent rectangular bandwidth, $\mathbf{1.572137}$ times apart, both being standard (Section 3).

Third, in musical terms that band is wide、Zwicker’s band at $440$ Hz is $\mathbf{397.2880}$ cents, that is $\mathbf{3.972880}$ semitones, and even the equivalent rectangular bandwidth is $\mathbf{263.0214}$ cents (Section 3).

Fourth, the same beat means different intervals at different pitches、a $1$ Hz beat is $\mathbf{15.667383}$ cents at $110$ Hz, $\mathbf{3.930158}$ at $440$ Hz and $\mathbf{1.966194}$ at $880$ Hz, the ends standing $\mathbf{7.968379}$ times apart (Section 2).

Fifth, the cents of an earlier paper become beats per second、the $13.686286$ cent error of the equal-tempered major third shown in Paper 466 is $\mathbf{4.365262}$ beats per second above $440$ Hz, and the $1.955001$ cent error of the fifth is $\mathbf{0.744886}$ beats per second (Section 4).

Sixth, the separator is whether the frequency difference exceeds the critical band、the same two tones are heard as two if it does and as one wavering tone if it does not (Section 4).

Keywords: beats, critical bandwidth, equivalent rectangular bandwidth, cent, equal temperament, frequency resolution

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/672/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/672 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

YOI の一覧へ