YOI 705：当たり率 0.99 でも、時間の半分以上は外れが使っている

論文705 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/705 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.23014923）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi705,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Even at a Hit Rate of 0.99, More Than Half the Time Is Spent on Misses},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/705},
  doi = {10.5281/zenodo.23014923},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969440・969456・969461 に記録されました（2026年10月01日 19:28（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

当たり率 $99$ % と聞けば、ほとんど当たっていると思える。だが遅い側が $100$ 倍遅ければ、時間の半分以上はその $1$ % が使っている。どちらが支配するかを、割合と比の積で数える。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、これが本稿の芯である。当たり率 $0.99$ で、時間の $0.502513$ を外れが使う。わずか $0.01$ の事象が、半分以上を持っていく（第2節）。

第二に、平均は理想の二倍になる。当たり率 $0.99$ の平均は $\mathbf{1.990000}$ サイクルで、外れがまったく無い場合の $2$ 倍近い（第2節）。

第三に、改善の効きは急に鈍る。$0.90\to0.99$ は $\mathbf{5.477387}$ 倍速くなるのに、$0.99\to0.999$ は $\mathbf{1.810737}$ 倍、$0.999\to0.9999$ は $\mathbf{1.088227}$ 倍にしかならない（第3節）。

第四に、鈍るのは、支配が入れ替わるからである。外れの重みが効かなくなる境目は、割合と比の積が $1$ を下回るところ、すなわち当たり率 $\mathbf{0.990000}$ ちょうどである（第3節）。

第五に、だから「当たり率」だけでは何も言っていない。同じ $0.99$ でも、遅い側が $10$ 倍なら平均 $1.090000$、$100$ 倍なら $1.990000$、$1000$ 倍なら $10.990000$ サイクルになる（第3節）。

第六に、分離子は、少数側の重みと比の積が $1$ を超えるかである。割合だけでも比だけでもなく、その積が支配を決める（第4節）。

キーワード：キャッシュの当たり率、平均アクセス時間、参照の局所性、アムダールの法則、支配する項、改善の効きの鈍り

Abstract

A hit rate of $99$ per cent sounds like almost everything hitting. But if the slow side is a hundred times slower, more than half the time is spent on that one per cent.Which side governs is counted here as the product of a share and a ratio.No new theorem or law is claimed.

First, and this is the core. At a hit rate of $0.99$, misses take $0.502513$ of the time、an event of only $0.01$ carries away more than half (Section 2).

Second, the average is nearly twice the ideal、at $0.99$ it is $\mathbf{1.990000}$ cycles, close to twice what it would be with no misses at all (Section 2).

Third, improvement falls off sharply、$0.90$ to $0.99$ gives $\mathbf{5.477387}$, while $0.99$ to $0.999$ gives $\mathbf{1.810737}$ and $0.999$ to $0.9999$ only $\mathbf{1.088227}$ (Section 3).

Fourth, it falls off because the governing side changes、misses stop governing where the product of share and ratio falls below one, exactly at a hit rate of $\mathbf{0.990000}$ (Section 3).

Fifth, so a hit rate on its own says nothing、the same $0.99$ gives $1.090000$ cycles if the slow side is ten times slower, $1.990000$ at a hundred and $\mathbf{10.990000}$ at a thousand (Section 3).

Sixth, the separator is whether the product of the minority share and the ratio exceeds one、neither the share nor the ratio alone decides which side governs (Section 4).

Keywords: cache hit rate, average access time, locality of reference, Amdahl's law, governing term, diminishing improvement

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/705/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/705 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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