YOI 770：点を一つ足すと道の総延長が短くなり、短くなるかどうかは 120 度の角が決める

論文770 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/770 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.23015257）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi770,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Adding One Point Shortens the Total Length of a Network, and the 120-Degree Angle Decides Whether It Does},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/770},
  doi = {10.5281/zenodo.23015257},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969440・969456・969461 に記録されました（2026年10月01日 19:28（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

点を繋ぐ最短の網は、与えられた点のあいだに線を引いて作ると思われやすい。けれど、網の中に新しい点を足すと、総延長はもっと短くなる。どれだけ短くなるか、そしていつ短くならないかを数える。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、点を一つ足すと、総延長が短くなる。正三角形で $2.000000$ から $\mathbf{1.732051}$ へ、短くなる割合 $\mathbf{0.133975}$（第2節）。

第二に、足した点では、三本の枝が $120$ 度で交わる。三つの角が $\mathbf{120.000000}$ 度ずつ（第2節）。

第三に、これが本稿の芯である。角が $120$ 度以上なら、足しても短くならない。$150$ 度の三角形では、最良の一点も頂点に落ちて $2.000000$ のまま（第3節）。

第四に、点を二つ足してよければ、正方形も短くなる。最小全域木 $3.000000$ に対し $\mathbf{2.732051}$、$\mathbf{0.910684}$ 倍（第3節）。

第五に、その点の位置も幾何で決まる。正方形の点の高さは $\mathbf{0.288675}$ で、$1/\sqrt{12}$ に一致（第3節）。

第六に、分離子は、三角形のどれかの角が $120$ 度以上かである。「最短で繋いだ」は、点を足してよいかと角を言うまで、まだ短くできるかが決まらない（第4節）。

キーワード：シュタイナー点、最小全域木、シュタイナー木、120 度の交わり、総延長、点を足す網

Abstract

The shortest network joining given points is readily thought to be built from lines between those points. But adding new points inside the network makes the total even shorter.How much shorter, and when not, are counted.No new theorem or law is claimed.

First, adding a point shortens the total、for an equilateral triangle, from $2.000000$ to $\mathbf{1.732051}$, a share $\mathbf{0.133975}$ shorter (Section 2).

Second, at the added point the three branches meet at $120$ degrees、three angles of $\mathbf{120.000000}$ degrees each (Section 2).

Third, and this is the core. If an angle is $120$ degrees or more, adding a point does not help、in a triangle with a $150$ degree angle, the best point falls onto the vertex and the total stays $2.000000$ (Section 3).

Fourth, allowed two points, a square shortens too、$\mathbf{2.732051}$ against a minimum spanning tree of $3.000000$, $\mathbf{0.910684}$ times (Section 3).

Fifth, the position of those points is set by geometry too、the square’s points sit at height $\mathbf{0.288675}$, equal to $1/\sqrt{12}$ (Section 3).

Sixth, the separator is whether any angle of the triangle is $120$ degrees or more、“joined by the shortest network” does not say whether it can be shorter until one says whether points may be added and what the angles are (Section 4).

Keywords: Steiner point, minimum spanning tree, Steiner tree, branches at 120 degrees, total length, networks with added points

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/770/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/770 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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