YOI 777：押せる向きの数と、行ける場所の次元は違う

論文777 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/777 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.23015288）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi777,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The Number of Directions You Can Push Is Not the Dimension of Where You Can Go},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/777},
  doi = {10.5281/zenodo.23015288},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969440・969456・969461 に記録されました（2026年10月01日 19:28（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

車は横には動けない。動かせるのは前後と、ハンドルによる回転の二つだけである。それでも車は横に並んだ駐車場所に入れる。押せる向きが二つしかないのに、どうして三つ目の向きに行けるかを数える。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、押せる向きは二つ、行きたい場所は三次元、状態は位置と向きの三つ、入力は前後と回転の二つ（第2節）。

第二に、交互に押すと、押していない向きに動く。前・回る・後ろ・戻るの一回りで、横のずれ／$\varepsilon^{2}$ は $\mathbf{-0.998334}$ から $\mathbf{-1.000000}$ へ（第2節）。

第三に、その向きは、リー括弧が決める。数値の括弧 $(\mathbf{0.644218}, \mathbf{-0.764842}, 0)$ が式と差 $2.184\times10^{-11}$ で一致（第3節）。

第四に、これが本稿の芯である。括弧が押せる向きの外に出れば、全部の向きに行ける。三方向の行列式は $\mathbf{1.000000}$（第3節）。

第五に、括弧が $0$ なら、行けない向きが残る。$x$ と $y$ にだけ押せる台車は括弧が $0$ で、向き $\theta$ には行けない（第3節）。

第六に、分離子は、二つの押し方を交互に繰り返したときの食い違い（リー括弧）が、押せる向きの外に出るかである。「二つしか動かせないから、二次元しか動けない」は、括弧を言うまで真偽が決まらない（第4節）。

キーワード：劣駆動系、非ホロノミック拘束、リー括弧、到達可能性、車の運動学、縦列駐車

Abstract

A car cannot move sideways. It can only drive forward or back and turn. Yet it can pull into a parking space beside it.How a third direction becomes reachable with only two directions of push is counted.No new theorem or law is claimed.

First, two directions to push, three dimensions to reach、three states, position and heading; two inputs, forward and turning (Section 2).

Second, alternating pushes moves the car in an unpushed direction、over one loop of forward, turn, back, turn back, sideways displacement over $\varepsilon^{2}$ goes from $\mathbf{-0.998334}$ to $\mathbf{-1.000000}$ (Section 2).

Third, the Lie bracket sets that direction、the numerical bracket $(\mathbf{0.644218}, \mathbf{-0.764842}, 0)$ matches the formula to $2.184\times10^{-11}$ (Section 3).

Fourth, and this is the core. If the bracket points outside the pushable directions, every direction is reachable、the determinant across three directions is $\mathbf{1.000000}$ (Section 3).

Fifth, if the bracket is $0$, some direction stays out of reach、a cart pushed only in $x$ and $y$ has bracket $0$ and cannot reach other headings (Section 3).

Sixth, the separator is whether the discrepancy from alternating two pushes (the Lie bracket) points outside the directions that can be pushed、“only two controls, so only two dimensions of motion” has no truth value until the bracket is stated (Section 4).

Keywords: underactuated systems, non-holonomic constraints, Lie bracket, reachability, car kinematics, parallel parking

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/777/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/777 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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