YOI 801：無い基音の三つの説明は、成分を同じだけずらすと跳ぶ・動かない・滑らかに動くに分かれる

論文801 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/801 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.23015419）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi801,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Three Explanations of the Missing Fundamental Split into Jumping, Standing Still and Moving Smoothly Under an Equal Shift},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/801},
  doi = {10.5281/zenodo.23015419},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969440・969456・969461 に記録されました（2026年10月01日 19:28（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

$400$・$600$・$800$ Hz の三つの成分を鳴らすと、そこに無い $200$ Hz の高さ（ピッチ）が聞こえると言われる。その理由として言われる三つの説明（最大公約数、ひずみが作る差音、波形の自己相関）を最も素朴な形で計算し、三つを分ける操作を探す。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、そのままの三つの成分では、三つの説明はどれも $200$ Hz を返す。最大公約数 $200$ Hz、二つの差 $200$・$400$ Hz、自己相関の最初の山 $\mathbf{5.000000}$ ms（第2節）。

第二に、波形そのものには $200$ Hz の成分が無い。$200$ Hz の成分 $3.752\times10^{-16}$ に対し、$400$ Hz の成分は $\mathbf{0.500000}$（第2節）。

第三に、これが本稿の芯である。成分を同じだけずらすと、三つの答が別れる。$10$ Hz ずらすと、最大公約数は $10$ Hz、差音は $200$ Hz、自己相関は $\mathbf{203.106667}$ Hz（第3節）。

第四に、ずらし続けると、跳ぶ・動かない・滑らかに動くになる。最大公約数は $10$・$20$・$10$・$50$ Hz、自己相関は $\mathbf{206.218462}$・$\mathbf{209.333585}$・$\mathbf{215.567394}$ Hz と続き、$10$ Hz ごとの増えは $\mathbf{3.106667}$・$\mathbf{3.111795}$・$\mathbf{3.115123}$（第3節）。

第五に、標本化した音でも、でたらめな位相でも、答は変わらない。標本化した自己相関は $\mathbf{199.995555}$ Hz と $\mathbf{203.112115}$ Hz、二次のひずみの最も強い周波数は位相 $12$ 通りすべてで $200$ Hz（第4節）。

第六に、分離子は、成分を同じだけずらしたとき、答が跳ぶか、動かないか、滑らかに動くか、「無い基音が聞こえる理由」は、ずらさない音では三つのどれとも言え、ずらすまで決まらない（第5節）。

キーワード：基音、差音、自己相関、最大公約数、倍音、ピッチ

Abstract

Sounding components at $400$, $600$ and $800$ Hz is said to produce a pitch of $200$ Hz that is not there: the missing fundamental.Three explanations offered for it（the greatest common divisor, a difference tone made by distortion, and the autocorrelation of the waveform）are computed in their simplest forms, and an operation that separates them is sought.No new theorem or law is claimed.

First, with the three components as they are, all three explanations return $200$ Hz、greatest common divisor $200$ Hz, differences $200$ and $400$ Hz, first autocorrelation peak at $\mathbf{5.000000}$ ms (Section 2).

Second, the waveform itself has no $200$ Hz component、$3.752\times10^{-16}$ at $200$ Hz against $\mathbf{0.500000}$ at $400$ Hz (Section 2).

Third, and this is the core. Shifting the components equally splits the three answers、a $10$ Hz shift gives a greatest common divisor of $10$ Hz, a difference tone of $200$ Hz, and autocorrelation at $\mathbf{203.106667}$ Hz (Section 3).

Fourth, continuing the shift gives jumping, standing still and moving smoothly、the greatest common divisor runs $10$, $20$, $10$, $50$ Hz, autocorrelation continues through $\mathbf{206.218462}$, $\mathbf{209.333585}$ and $\mathbf{215.567394}$ Hz, rising by $\mathbf{3.106667}$, $\mathbf{3.111795}$ and $\mathbf{3.115123}$ per $10$ Hz (Section 3).

Fifth, sampled sound and random phases do not change the answers、sampled autocorrelation gives $\mathbf{199.995555}$ Hz and $\mathbf{203.112115}$ Hz, and the strongest frequency of the squared distortion is $200$ Hz for all $12$ phase sets (Section 4).

Sixth, the separator is whether, when the components are shifted equally, the answer jumps, stands still or moves smoothly、“why the missing fundamental is heard” can be said to be any of the three for an unshifted sound and is not decided until the components are shifted (Section 5).

Keywords: missing fundamental, difference tone, autocorrelation, greatest common divisor, overtones, pitch

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/801/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/801 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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