YOI 810：等号にちょうど乗る数は百万までに四個しかないのに、すぐ上の不等号は四分の一を占める

論文810 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/810 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.23015465）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi810,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Only Four Numbers Sit Exactly on the Equality Below a Million, While the Inequality Just Above It Takes a Quarter},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/810},
  doi = {10.5281/zenodo.23015465},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969440・969456・969461 に記録されました（2026年10月01日 19:28（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

完全数は「約数の和が自分自身の $2$ 倍にちょうど等しい数」として定義される。本稿は、その等号にちょうど乗る数と、すぐ上の不等号を満たす数の密度を、$10^{6}$ まで数え上げて並べる。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、等号に乗る数はきわめて稀である。$10^{6}$ までに $6$・$28$・$496$・$8128$ の $4$ 個だけで、割合は $\mathbf{0.000004000}$ である（第2節）。

第二に、これが本稿の芯である。すぐ上の不等号は四分の一を占める。過剰数は $247545$ 個（$\mathbf{0.247545}$）、不足数は $752450$ 個（$\mathbf{0.752451}$）で、等号との比は $1$ 対 $\mathbf{61886.2}$ である（第2節）。

第三に、境目の近くにも密度がある。$\sigma(n)/2n$ が $0.99$ から $1.01$ に入る数は $34212$ 個（$\mathbf{0.034212}$）で、ちょうど等号の $\mathbf{8553.0}$ 倍である（第3節）。

第四に、奇数では、不等号だけが現れた。奇数の過剰数は $1996$ 個あって最小は $945$ なのに、奇数の完全数は $10^{6}$ までに一つも無い（第3節）。

第五に、等号に乗る数は、作れば作れる。$2^{p-1}(2^{p}-1)$ の形は $p=2,3,5,7,13,17,19,31$ のすべてで $\sigma(N)=2N$ を満たし、$p=31$ で $N=2305843008139952128$ になる（第4節）。

第六に、分離子は、ちょうど等しいかを問うか、超えているかを問うかである。同じ $\sigma$ を見ていても、等号は密度 $0$ に近く、不等号は正の密度を持つ（第5節）。

キーワード：完全数、過剰数、不足数、約数の和、ユークリッド＝オイラーの分類、密度

Abstract

A perfect number is defined by an equality: the sum of its divisors is exactly twice itself.This paper enumerates up to $10^{6}$ and sets the density of the numbers sitting on that equality beside the density of those satisfying the inequality just above it.No new theorem or law is claimed.

First, numbers on the equality are extremely rare、below $10^{6}$ there are just $4$, namely $6$, $28$, $496$ and $8128$, a share of $\mathbf{0.000004000}$ (Section 2).

Second, and this is the core. The inequality just above takes a quarter、abundant numbers number $247545$ ($\mathbf{0.247545}$) and deficient ones $752450$ ($\mathbf{0.752451}$), a ratio to the equality of $1$ to $\mathbf{61886.2}$ (Section 2).

Third, the neighbourhood of the boundary is crowded too、numbers with $\sigma(n)/2n$ between $0.99$ and $1.01$ number $34212$ ($\mathbf{0.034212}$), which is $\mathbf{8553.0}$ times those exactly on it (Section 3).

Fourth, among odd numbers only the inequality appeared、there are $1996$ odd abundant numbers, the smallest $945$, and not one odd perfect number below $10^{6}$ (Section 3).

Fifth, numbers on the equality can be built rather than sought、the form $2^{p-1}(2^{p}-1)$ satisfies $\sigma(N)=2N$ for all of $p=2,3,5,7,13,17,19,31$, reaching $N=2305843008139952128$ at $p=31$ (Section 4).

Sixth, the separator is whether one asks for exact equality or for exceedance、on the same $\sigma$, the equality has almost no density while the inequality has a positive one (Section 5).

Keywords: perfect number, abundant number, deficient number, sum of divisors, Euclid--Euler classification, density

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/810/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/810 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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