YOI 902：同じ c³ でも、黒体放射の 3 は次元を数え、プランク長の 3 は数えない

論文902 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/902 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22800314）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi902,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The Same c³ Counts Differently: Black-Body Radiation's 3 Counts Dimensions, the Planck Length's Does Not},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/902},
  doi = {10.5281/zenodo.22800314},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969451・969456・969461・969490 に記録されました（2026年10月01日 23:00（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

論文116 は、プランク長の $c^3$ の $3$ が空間の次元ではなく時間の重みであることを示した。本稿は、同じ $c^3$ が空間の次元を数えている場所を一つ示す。黒体の放射密度である。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、放射密度の $T$ の冪は $d+1$ である。$d=1$ から $4$ で数値積分して当てた指数は $2.000000$・$3.000000$・$4.000000$・$5.000000$ で、シュテファン＝ボルツマンの $4$ は $d+1$ の $d=3$ である（第2節）。

第二に、これが本稿の芯である。放射密度の $c$ の冪は $d$ である。同じ積分で $c$ の指数は $1.000000$・$2.000000$・$\mathbf{3.000000}$・$4.000000$ で、$c^3$ の $3$ は $k$ 空間が三次元だから出る $3$ である（第2節）。

第三に、係数の中に $k$ 空間の $4\pi$ が居る。$d=3$・偏光 $2$ の係数は $2\times S_2/(2\pi)^3\times\Gamma(4)\zeta(4)=\mathbf{0.657974}=\pi^2/15$ で、$S_2=4\pi$ は $k$ 空間の球の面積である。SI の定義値から $\sigma=\mathbf{5.670374419\times10^{-8}}$ W/m²/K⁴ が出る（第3節）。

第四に、流束の $1/4$ も $4\pi$ の割り算である。$F=cu\times$（半球の投影 $\int\cos\theta d\Omega$ を全球 $S_{d-1}$ で割った値）で、その値は $d=3$ で $\mathbf{0.250000}=\pi/4\pi$、$d=2$ で $0.318310$、$d=4$ で $0.212207$ である（第3節）。

第五に、プランク長の $3$ は、どの次元でも $3$ である。単位の釣り合いを $d=2$ から $6$ で解くと、$c$ の指数に $d-1$ を掛けた値はすべて $\mathbf{-3.000000}$ で、放射密度の $c^d$ と対照をなす（第4節）。

第六に、分離子は、$k$ 空間の体積で数えるか、還元の指数で数えるかである。前者では $c$ の冪が次元を数え、後者では時間の重みを数える。同じ $3$ に二つの身元がある（第5節）。

キーワード：黒体放射、放射密度、状態密度、c の冪、プランク長、空間次元

Abstract

Paper 116 showed that the $3$ in the $c^3$ of the Planck length is not the number of space dimensions but the weight of time.This paper shows one place where the same $c^3$ does count space dimensions: the radiation density of a black body.No new theorem or law is claimed.

First, the exponent of $T$ in the radiation density is $d+1$、the exponents fitted by numerical integration for $d=1$ to $4$ are $2.000000$, $3.000000$, $4.000000$, $5.000000$, and the $4$ of Stefan and Boltzmann is $d+1$ at $d=3$ (Section 2).

Second, and this is the core. The exponent of $c$ in the radiation density is $d$、in the same integral the exponent of $c$ is $1.000000$, $2.000000$, $\mathbf{3.000000}$, $4.000000$; the $3$ of $c^3$ is there because $k$ space has three dimensions (Section 2).

Third, the $4\pi$ of $k$ space lives in the coefficient、the coefficient for $d=3$ with $2$ polarisations is $2\times S_2/(2\pi)^3\times\Gamma(4)\zeta(4)=\mathbf{0.657974}=\pi^2/15$, where $S_2=4\pi$ is the area of the sphere in $k$ space. The SI defining constants give $\sigma=\mathbf{5.670374419\times10^{-8}}$ W/m²/K⁴ (Section 3).

Fourth, the $1/4$ of the flux is also a division by $4\pi$、$F=cu\times$ (the projected hemisphere $\int\cos\theta d\Omega$ divided by the full sphere $S_{d-1}$), which is $\mathbf{0.250000}=\pi/4\pi$ at $d=3$, $0.318310$ at $d=2$ and $0.212207$ at $d=4$ (Section 3).

Fifth, the $3$ of the Planck length is $3$ in every dimension、solving the balance of units for $d=2$ to $6$, the exponent of $c$ times $d-1$ is $\mathbf{-3.000000}$ throughout, in contrast to the $c^d$ of the radiation density (Section 4).

Sixth, the separator is whether one counts by the volume of $k$ space or by the exponents of the reduction、in the former the power of $c$ counts dimensions; in the latter it counts the weight of time. The same $3$ has two identities (Section 5).

Keywords: black-body radiation, radiation density, density of states, exponent of c, Planck length, space dimension

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/902/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/902 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

YOI の一覧へ