YOI 903：フーコーの振り子が一日に回る角は、緯度円より上の空の立体角を 2π から引いた値である

論文903 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/903 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22803584）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi903,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The Angle a Foucault Pendulum Turns in a Day Is 2π Minus the Solid Angle of the Sky Above the Latitude Circle},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/903},
  doi = {10.5281/zenodo.22803584},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969451・969456・969461・969490 に記録されました（2026年10月01日 23:00（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

フーコーの振り子が一日に回る角 $2\pi\sin\varphi$ は、コリオリ力の式から出る数だと思われている。本稿は、同じ角を、運動方程式の数値積分と、緯度円に沿う平行移動と、緯度円より上の帽子の立体角の三通りで出し、それが一つの角であることを数える。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、運動方程式を刻むと $2\pi\sin\varphi$ が出る。一恒星日の回転角は緯度 $35$ 度で $\mathbf{206.487516}$ 度、$48.85$ 度で $271.076195$ 度、極で $359.999994$ 度、赤道で $0$ で、$2\pi\sin\varphi$ との差は $10^{-7}$ rad 以内である（第2節）。

第二に、緯度円に沿って平行移動した向きの変化は、帽子の立体角である。一周したあとの向きの変化は $35$ 度で $\mathbf{2.679298}$ rad、$48.85$ 度で $1.552013$ rad で、緯度円より上の帽子の立体角 $2\pi(1-\sin\varphi)$ の数値積分と $10^{-6}$ 以内で一致する（第3節）。

第三に、これが本稿の芯である。三つは一つの角である。運動方程式の回転角（時計回り $2\pi\sin\varphi$）と、平行移動の回転（反時計回り $\Omega$）は、$2\pi$ を法として一致する。振り子が一日に回る角は、$2\pi$ から帽子の立体角を引いた $2\pi-\Omega$ である（第3節）。

第四に、回転角は振り子の周期に依らない。周期 $2$ 秒と $16$ 秒で回転角はどちらも $3.603887$ rad で、差は $10^{-5}$ rad 以内である（第2節）。

第五に、一周に要る日数は $1/\sin\varphi$ である。緯度 $35$ 度で $\mathbf{1.743447}$ 恒星日、$48.85$ 度で $1.328040$ 恒星日、極で $1.000000$ 恒星日で、赤道では回らない（第4節）。

第六に、分離子は、恒星日で数えるか、太陽日で数えるかである。回るのは地球が恒星に対して一回転する $86164.0905$ 秒であり、太陽日 $86400$ 秒あたりに直すと $35$ 度で $207.052861$ 度になる（第4節）。

キーワード：フーコーの振り子、ホロノミー、平行移動、立体角、恒星日、コリオリ力

Abstract

The angle $2\pi\sin\varphi$ that a Foucault pendulum turns in a day is usually taken as a number that comes out of the Coriolis force.This paper obtains the same angle in three ways: by numerical integration of the equations of motion, by parallel transport along the latitude circle, and from the solid angle of the cap above the latitude circle, and counts that they are one angle.No new theorem or law is claimed.

First, stepping the equations of motion gives $2\pi\sin\varphi$、the turn in one sidereal day is $\mathbf{206.487516}$ degrees at latitude $35$, $271.076195$ at $48.85$, $359.999994$ at the pole and $0$ at the equator, within $10^{-7}$ rad of $2\pi\sin\varphi$ (Section 2).

Second, the change of direction under parallel transport along the latitude circle is the solid angle of the cap、after one circuit the direction has changed by $\mathbf{2.679298}$ rad at $35$ degrees and $1.552013$ rad at $48.85$, agreeing within $10^{-6}$ with the numerically integrated solid angle $2\pi(1-\sin\varphi)$ of the cap above the circle (Section 3).

Third, and this is the core. The three are one angle、the turn from the equations of motion (clockwise, $2\pi\sin\varphi$) and the turn from parallel transport (counter-clockwise, $\Omega$) agree modulo $2\pi$. The angle the pendulum turns in a day is $2\pi-\Omega$, that is, $2\pi$ minus the solid angle of the cap (Section 3).

Fourth, the angle does not depend on the pendulum’s period、with periods of $2$ s and $16$ s the turn is $3.603887$ rad in both cases, differing by less than $10^{-5}$ rad (Section 2).

Fifth, one full turn takes $1/\sin\varphi$ days、$\mathbf{1.743447}$ sidereal days at latitude $35$, $1.328040$ at $48.85$, $1.000000$ at the pole, and no turn at the equator (Section 4).

Sixth, the separator is whether the day is counted in sidereal or in solar days、the turn is tied to the $86164.0905$ seconds in which the Earth turns once against the stars; per solar day of $86400$ seconds it becomes $207.052861$ degrees at $35$ degrees (Section 4).

Keywords: Foucault pendulum, holonomy, parallel transport, solid angle, sidereal day, Coriolis force

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/903/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/903 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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